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上下界网络流学习笔记

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#前置知识

#无源汇上下界可行流

给定无源汇流量网络 GG。询问是否存在一种标定每条边流量的方式,使得每条边流量满足上下界同时每一个点流量平衡。

#实现

先强制初始流存在,这样有的点的入流不等于出流,这样对应的和 S,TS, T 连边(边权为出入流量差),原图的边容量为剩余流量。

具体来说,设 Δi\Delta_i 为第 ii 个点的入流与出流之差。若 Δi>0\Delta_i > 0,连 SSii;否则连 iiTT。权值均为 Δi|\Delta_i|。当存在最大流使得 SS 的所有出边都满流,则有解。

对于有源汇上下界可行流,只需要连一条 TST \to S、容量无穷大的边就可以将其转化为无源汇上下界可行流。

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <limits>
#include <queue>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 205,
M = 10205;

int n, m, s, t;
int idx, head[N], ver[M << 2], next[M << 2];
std::pair<int, int> edge[M << 2];
int f[N], d[N], cur[N];

void add(int u, int v, int a, int b) {
ver[idx] = v;
edge[idx] = std::make_pair(a, b);
next[idx] = head[u];
head[u] = idx++;
}

bool bfs() {
memset(d, 0x00, sizeof(d));

std::queue<int> q;
q.push(s);
d[s] = 1;
cur[s] = head[s];

while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();

for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
int v = ver[i];

if (!d[v] && edge[i].first) {
d[v] = d[u] + 1;
cur[v] = head[v];
if (v == t) return true;
q.push(v);
}
}
}

return false;
}

int dinic(int u, int limit) {
if (u == t) return limit;

int flow = 0;
for (int &i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
int v = ver[i];

if (d[v] == d[u] + 1 && edge[i].first) {
int k = dinic(v, std::min(edge[i].first, limit - flow));
if (!k) d[v] = 0;
edge[i].first -= k;
edge[i ^ 1].first += k;
flow += k;
}
}

return flow;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

memset(head, 0xff, sizeof(head));

cin >> n >> m;

for (int i = 1, u, v, a, b; i <= m; i++) {
cin >> u >> v >> a >> b;

add(u, v, b - a, a);
add(v, u, 0, 0);

f[u] -= a, f[v] += a;
}

int sum = 0;
s = 0, t = n + 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (f[i] > 0) {
add(s, i, f[i], 0);
add(i, s, 0, 0);
sum += f[i];
} else if (f[i] < 0) {
add(i, t, -f[i], 0);
add(t, i, 0, 0);
}
}

int res = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) res += flow;
}

if (res == sum) {
cout << "YES" << endl;

for (int i = 0; i < m << 1; i += 2) {
cout << edge[i ^ 1].first + edge[i].second << endl;
}
} else {
cout << "NO" << endl;
}

return 0;
}

#有源汇上下界最大流

给定有源汇流量网络 GG。询问是否存在一种标定每条边流量的方式,使得每条边流量满足上下界同时除了源点和汇点每一个点流量平衡。如果存在,询问满足标定的最大流量。

#实现

先找到网络上的任意一个可行流,如果无解可以直接结束。

如果可行流有解,那么先删去求可行流时添加的超级源汇点、TST \to S 的辅助边,再在残量网络上跑一遍 STS \to T 的最大流,最后将可行流流量与最大流流量相加即可。

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <limits>
#include <queue>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 205,
M = 10205;

int n, m, s, t, ss, tt;
int idx, head[N], ver[M << 2], edge[M << 2], next[M << 2];
int f[N], d[N], cur[N];

void add(int u, int v, int w) {
ver[idx] = v;
edge[idx] = w;
next[idx] = head[u];
head[u] = idx++;
}

bool bfs() {
memset(d, 0x00, sizeof(d));

std::queue<int> q;
q.push(s);
d[s] = 1;
cur[s] = head[s];

while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();

for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
int v = ver[i],
w = edge[i];

if (!d[v] && w) {
d[v] = d[u] + 1;
cur[v] = head[v];
if (v == t) return true;
q.push(v);
}
}
}

return false;
}

int dinic(int u, int limit) {
if (u == t) return limit;

int flow = 0;
for (int &i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
int v = ver[i],
w = edge[i];

if (d[v] == d[u] + 1 && w) {
int k = dinic(v, std::min(w, limit - flow));
if (!k) d[v] = 0;
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
flow += k;
}
}

return flow;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

memset(head, 0xff, sizeof(head));

cin >> n >> m >> ss >> tt;

for (int i = 1, u, v, a, b; i <= m; i++) {
cin >> u >> v >> a >> b;

add(u, v, b - a);
add(v, u, 0);

f[u] -= a, f[v] += a;
}

int sum = 0;
s = 0, t = n + 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (f[i] > 0) {
add(s, i, f[i]);
add(i, s, 0);
sum += f[i];
} else if (f[i] < 0) {
add(i, t, -f[i]);
add(t, i, 0);
}
}

add(tt, ss, std::numeric_limits<int>::max());
add(ss, tt, 0);

int res = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) res += flow;
}

if (res == sum) {
int x = edge[idx - 1];
edge[idx - 1] = edge[idx - 2] = 0;

s = ss, t = tt;

int res = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) res += flow;
}

cout << x + res << endl;
} else {
cout << "please go home to sleep" << endl;
}

return 0;
}

#有源汇上下界最小流

给定有源汇流量网络 GG。询问是否存在一种标定每条边流量的方式,使得每条边流量满足上下界同时除了源点和汇点每一个点流量平衡。如果存在,询问满足标定的最小流量。

#实现

与有源汇上下界最大流类似。

先找到网络上的任意一个可行流,如果无解可以直接结束。

如果可行流有解,那么先删去求可行流时添加的超级源汇点、TST \to S 的辅助边,再在残量网络上跑一遍 TST \to S 的最大流,最后用可行流流量减去最大流流量即为最小流。

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <limits>
#include <queue>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 5e4 + 5,
M = 125003 + 5;

int n, m, s, t, ss, tt;
int idx, head[N], ver[M << 2], edge[M << 2], next[M << 2];
int f[N], cur[N], dist[N];

void add(int u, int v, int w) {
ver[idx] = v;
edge[idx] = w;
next[idx] = head[u];
head[u] = idx++;
}

bool bfs() {
memset(dist, 0x00, sizeof(dist));

std::queue<int> q;

q.push(s);
dist[s] = 1;
cur[s] = head[s];

while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();

for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
int v = ver[i],
w = edge[i];

if (!dist[v] && w) {
dist[v] = dist[u] + 1;
cur[v] = head[v];
if (v == t) return true;
q.push(v);
}
}
}

return false;
}

int dinic(int u, int limit) {
if (u == t) return limit;

int flow = 0;
for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
cur[u] = i;

int v = ver[i],
w = edge[i];

if (dist[v] == dist[u] + 1 && w) {
int k = dinic(v, std::min(w, limit - flow));

if (!k) dist[v] = 0;
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
flow += k;
}
}

return flow;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

memset(head, 0xff, sizeof(head));

cin >> n >> m >> ss >> tt;

for (int i = 1, u, v, a, b; i <= m; i++) {
cin >> u >> v >> a >> b;

add(u, v, b - a);
add(v, u, 0);

f[u] -= a, f[v] += a;
}

int sum = 0;
s = 0, t = n + 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (f[i] > 0) {
add(s, i, f[i]);
add(i, s, 0);
sum += f[i];
} else if (f[i] < 0) {
add(i, t, -f[i]);
add(t, i, 0);
}
}

add(tt, ss, std::numeric_limits<int>::max());
add(ss, tt, 0);

int res = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) res += flow;
}

if (res == sum) {
int x = edge[idx - 1];
edge[idx - 1] = edge[idx - 2] = 0;

s = tt, t = ss;

int res = 0, flow;
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) res += flow;
}

cout << x - res << endl;
} else {
cout << "please go home to sleep" << endl;
}

return 0;
}

#参考资料

  1. 最大流之上下界可行流,AcWing 算法进阶课,闫学灿,2020 年 7 月 31 日。
  2. 上下界网络流,OI Wiki,2021 年 2 月 8 日。