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CDQ 分治学习笔记

笔记约 1 千字
# 数据结构 # 离线 # CDQ 分治
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CDQ 分治是 OI 中的一个比较常用的分治算法。该算法最早由 IOI2008 金牌得主陈丹琦提出，并因此得名。

本文主要讲解使用 CDQ 分治解决点对三维偏序问题。

点对三维偏序问题的基本模型如下：

有 nn 个元素，第 ii 个元素有 ai,bi,cia_i, b_i, c_i 三个属性，设 f(i)f(i) 表示满足 aj≤aia_j \leq a_i 且 bj≤bib_j \leq b_i 且 cj≤cic_j \leq c_i 且 j≠ij \ne i 的 jj 的数量。给定一个或多个 xx，求 f(x)f(x) 的值。

#实现

CDQ 分治解决这类问题的算法流程如下：

  1. 找到这个序列的中点 mid\mathit{mid}；
  2. 将所有点对 (i,j)(i, j) 划分为 3 类：
    1. 1≤i,j≤mid1 \leq i, j \leq \mathit{mid} 的点对；
    2. 1≤i≤mid,mid+1≤j≤n1 \leq i \leq \mathit{mid}, \mathit{mid} + 1 \leq j \leq n 的点对；
    3. mid+1≤i,j≤n\mathit{mid} + 1 \leq i, j \leq n 的点对。
  3. 将 (1,n)(1, n) 这个序列拆成两个序列 (1,mid)(1, \mathit{mid}) 和 (mid+1,n)(\mathit{mid} + 1, n)。此时第一类点对和第三类点对都在这两个序列之中；
  4. 递归地处理这两类点对；
  5. 设法处理第二类点对。

可以看到 CDQ 分治的思想就是不断地把点对通过递归的方式分给左右两个区间。

在实际应用时，我们通常使用一个函数 solve(l, r) 处理 l≤i,j≤rl \leq i, j \leq r 的点对。上述算法流程中的递归部分便是通过 solve(l, mid) 与 solve(mid, r) 来实现的。剩下的第二类点对则需要额外设计算法解决。

#代码

对应题目：P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

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#include <algorithm>
#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5,
          K = 2e5 + 5;

int n, k, ans[K];
int c[K];

struct node {
    int a, b, c, cnt, res;

    node()
        : a(0), b(0), c(0), cnt(0), res(0) {}

    node(int _a, int _b, int _c)
        : a(_a), b(_b), c(_c), cnt(1), res(0) {}

    bool operator<(const node& x) const {
        return a == x.a ? b == x.b ? c < x.c : b < x.b : a < x.a;
    }

    bool operator==(const node& x) const {
        return a == x.a && b == x.b && c == x.c;
    }
} q[N], w[N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int y) {
    for (; x <= 2e5; x += lowbit(x)) c[x] += y;
}

int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (; x; x -= lowbit(x)) res += c[x];
    return res;
}

void solve(int l, int r) {
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;

    // 分治
    solve(l, mid);
    solve(mid + 1, r);

    // 双指针处理第二维
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i].b <= q[j].b) {
            // 树状数组处理第三维
            add(q[i].c, q[i].cnt);
            w[++k] = q[i++];
        } else {
            q[j].res += sum(q[j].c);
            w[++k] = q[j++];
        }
    }

    // 补齐剩余部分
    while (i <= mid) {
        add(q[i].c, q[i].cnt);
        w[++k] = q[i++];
    }

    while (j <= r) {
        q[j].res += sum(q[j].c);
        w[++k] = q[j++];
    }

    // 恢复原状
    for (int i = l; i <= mid; i++) add(q[i].c, -q[i].cnt);
    for (int i = l, j = 1; j <= k; i++, j++) q[i] = w[j];
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n >> k;

    for (int i = 1, a, b, c; i <= n; i++) {
        cin >> a >> b >> c;

        q[i] = node(a, b, c);
    }

    // 排序处理第一维
    std::sort(q + 1, q + 1 + n);

    int k = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (q[i] == q[k]) {
            q[k].cnt++;
        } else {
            q[++k] = q[i];
        }
    }

    // 分治
    solve(1, k);

    // 计算答案
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        ans[q[i].res + q[i].cnt - 1] += q[i].cnt;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << ans[i] << endl;
    }

    return 0;
}

#参考资料

  1. 从《Cash》谈一类分治算法的应用（文件存档备份），陈丹琦，2008 年。
  2. 2.15 CDQ 分治，AcWing 算法进阶课，闫学灿，2020 年 11 月 20 日。
  3. CDQ 分治，OI Wiki，2021 年 10 月 11 日。