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CDQ 分治学习笔记

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

CDQ 分治是 OI 中的一个比较常用的分治算法。该算法最早由 IOI2008 金牌得主陈丹琦提出,并因此得名。

本文主要讲解使用 CDQ 分治解决点对三维偏序问题。

点对三维偏序问题的基本模型如下:

nn 个元素,第 ii 个元素有 ai,bi,cia_i, b_i, c_i 三个属性,设 f(i)f(i) 表示满足 ajaia_j \leq a_ibjbib_j \leq b_icjcic_j \leq c_ijij \ne ijj 的数量。给定一个或多个 xx,求 f(x)f(x) 的值。

#实现

CDQ 分治解决这类问题的算法流程如下:

  1. 找到这个序列的中点 mid\mathit{mid}
  2. 将所有点对 (i,j)(i, j) 划分为 3 类:
    1. 1i,jmid1 \leq i, j \leq \mathit{mid} 的点对;
    2. 1imid,mid+1jn1 \leq i \leq \mathit{mid}, \mathit{mid} + 1 \leq j \leq n 的点对;
    3. mid+1i,jn\mathit{mid} + 1 \leq i, j \leq n 的点对。
  3. (1,n)(1, n) 这个序列拆成两个序列 (1,mid)(1, \mathit{mid})(mid+1,n)(\mathit{mid} + 1, n)。此时第一类点对和第三类点对都在这两个序列之中;
  4. 递归地处理这两类点对;
  5. 设法处理第二类点对。

可以看到 CDQ 分治的思想就是不断地把点对通过递归的方式分给左右两个区间。

在实际应用时,我们通常使用一个函数 solve(l, r) 处理 li,jrl \leq i, j \leq r 的点对。上述算法流程中的递归部分便是通过 solve(l, mid)solve(mid, r) 来实现的。剩下的第二类点对则需要额外设计算法解决。

#代码

对应题目:P3810 【模板】三维偏序(陌上花开)

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#include <algorithm>
#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5,
K = 2e5 + 5;

int n, k, ans[K];
int c[K];

struct node {
int a, b, c, cnt, res;

node()
: a(0), b(0), c(0), cnt(0), res(0) {}

node(int _a, int _b, int _c)
: a(_a), b(_b), c(_c), cnt(1), res(0) {}

bool operator<(const node& x) const {
return a == x.a ? b == x.b ? c < x.c : b < x.b : a < x.a;
}

bool operator==(const node& x) const {
return a == x.a && b == x.b && c == x.c;
}
} q[N], w[N];

inline int lowbit(int x) {
return x & -x;
}

void add(int x, int y) {
for (; x <= 2e5; x += lowbit(x)) c[x] += y;
}

int sum(int x) {
int res = 0;
for (; x; x -= lowbit(x)) res += c[x];
return res;
}

void solve(int l, int r) {
if (l >= r) return;

int mid = l + r >> 1;

// 分治
solve(l, mid);
solve(mid + 1, r);

// 双指针处理第二维
int i = l, j = mid + 1, k = 0;
while (i <= mid && j <= r) {
if (q[i].b <= q[j].b) {
// 树状数组处理第三维
add(q[i].c, q[i].cnt);
w[++k] = q[i++];
} else {
q[j].res += sum(q[j].c);
w[++k] = q[j++];
}
}

// 补齐剩余部分
while (i <= mid) {
add(q[i].c, q[i].cnt);
w[++k] = q[i++];
}

while (j <= r) {
q[j].res += sum(q[j].c);
w[++k] = q[j++];
}

// 恢复原状
for (int i = l; i <= mid; i++) add(q[i].c, -q[i].cnt);
for (int i = l, j = 1; j <= k; i++, j++) q[i] = w[j];
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);

cin >> n >> k;

for (int i = 1, a, b, c; i <= n; i++) {
cin >> a >> b >> c;

q[i] = node(a, b, c);
}

// 排序处理第一维
std::sort(q + 1, q + 1 + n);

int k = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (q[i] == q[k]) {
q[k].cnt++;
} else {
q[++k] = q[i];
}
}

// 分治
solve(1, k);

// 计算答案
for (int i = 1; i <= k; i++) {
ans[q[i].res + q[i].cnt - 1] += q[i].cnt;
}

for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << ans[i] << endl;
}

return 0;
}

#参考资料

  1. 从《Cash》谈一类分治算法的应用文件存档备份,陈丹琦,2008 年。
  2. 2.15 CDQ 分治,AcWing 算法进阶课,闫学灿,2020 年 11 月 20 日。
  3. CDQ 分治,OI Wiki,2021 年 10 月 11 日。