「CSP-S 2021」廊桥分配

#题面

#题目描述

当一架飞机抵达机场时，可以停靠在航站楼旁的廊桥，也可以停靠在位于机场边缘的远机位。乘客一般更期待停靠在廊桥，因为这样省去了坐摆渡车前往航站楼的周折。然而，因为廊桥的数量有限，所以这样的愿望不总是能实现。

机场分为国内区和国际区，国内航班飞机只能停靠在国内区，国际航班飞机只能停靠在国际区。一部分廊桥属于国内区，其余的廊桥属于国际区。

L 市新建了一座机场，一共有 $n$ 个廊桥。该机场决定，廊桥的使用遵循“先到先得”的原则，即每架飞机抵达后，如果相应的区（国内/国际）还有空闲的廊桥，就停靠在廊桥，否则停靠在远机位（假设远机位的数量充足）。该机场只有一条跑道，因此不存在两架飞机同时抵达的情况。

现给定未来一段时间飞机的抵达、离开时刻，请你负责将 $n$ 个廊桥分配给国内区和国际区，使停靠廊桥的飞机数量最多。

#输入格式

输入的第一行，包含三个正整数 $n, m_1, m_2$，分别表示廊桥的个数、国内航班飞机的数量、国际航班飞机的数量。

接下来 $m_1$ 行，是国内航班的信息，第 $i$ 行包含两个正整数 $a_{1, i}, b_{1, i}$，分别表示一架国内航班飞机的抵达、离开时刻。

接下来 $m_2$ 行，是国际航班的信息，第 $i$ 行包含两个正整数 $a_{2, i}, b_{2, i}$，分别表示一架国际航班飞机的抵达、离开时刻。

每行的多个整数由空格分隔。

#输出格式

输出一个正整数，表示能够停靠廊桥的飞机数量的最大值。

#输入输出样例

样例输入 #1

3 5 4
1 5
3 8
6 10
9 14
13 18
2 11
4 15
7 17
12 16

样例输出 #1

7

样例解释 #1

在图中，我们用抵达、离开时刻的数对来代表一架飞机，如 $(1, 5)$ 表示时刻 $1$ 抵达、时刻 $5$ 离开的飞机；用 $\surd$ 表示该飞机停靠在廊桥，用 $\times$ 表示该飞机停靠在远机位。

我们以表格中阴影部分的计算方式为例，说明该表的含义。在这一部分中，国际区有 $2$ 个廊桥，$4$ 架国际航班飞机依如下次序抵达：

1. 首先 $(2, 11)$ 在时刻 $2$ 抵达，停靠在廊桥。
2. 然后 $(4, 15)$ 在时刻 $4$ 抵达，停靠在另一个廊桥。
3. 接着 $(7, 17)$ 在时刻 $7$ 抵达，这时前 $2$ 架飞机都还没离开、都还占用着廊桥，而国际区只有 $2$ 个廊桥，所以只能停靠远机位。
4. 最后 $(12, 16)$ 在时刻 $12$ 抵达，这时 $(2, 11)$ 这架飞机已经离开，所以有 $1$ 个空闲的廊桥，该飞机可以停靠在廊桥。

根据表格中的计算结果，当国内区分配 $2$ 个廊桥、国际区分配 $1$ 个廊桥时，停靠廊桥的飞机数量最多，一共 $7$ 架。

样例输入 #2

2 4 6
20 30
40 50
21 22
41 42
1 19
2 18
3 4
5 6
7 8
9 10

样例输出 #2

4

样例解释 #2

当国内区分配 $2$ 个廊桥、国际区分配 $0$ 个廊桥时，停靠廊桥的飞机数量最多，一共 $4$ 架，即所有的国内航班飞机都能停靠在廊桥。

需要注意的是，本题中廊桥的使用遵循「先到先得」的原则，如果国际区只有 $1$ 个廊桥，那么将被飞机 $(1, 19)$ 占用，而不会被 $(3, 4)$、$(5, 6)$、$(7, 8)$、$(9, 10)$ 这 $4$ 架飞机先后使用。

#数据范围与约定

对于 $20 \%$ 的数据，$n \le 100$，$m_1 + m_2 \le 100$。
对于 $40 \%$ 的数据，$n \le 5000$，$m_1 + m_2 \le 5000$。
对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le n \le {10}^5$，$m_1, m_2 \ge 1$，$m_1 + m_2 \le {10}^5$，所有 $a_{1, i}, b_{1, i}, a_{2, i}, b_{2, i}$ 为数值不超过 ${10}^8$ 的互不相同的正整数，且保证对于每个 $i \in [1, m_1]$，都有 $a_{1, i} < b_{1, i}$，以及对于每个 $i \in [1, m_2]$，都有 $a_{2, i} < b_{2, i}$。

#思路

将每个航班存储为一个 pair<int, int> ，第一关键字表示该航班的抵达时间，第二关键字表示该航班的离开时间。

设 $f(x), g(x)$ 分别表示有 $x$ 个廊桥分配给国内（国际）航班时停靠廊桥的飞机数量的最大值，则最后答案可以转化成 $\max(f(x) + g(n - x)),\ (0 \leq x \leq n)$ 。

将廊桥一条一条的分配给国内航班，并使用 set 维护当前未在廊桥上的飞机。

当一条廊桥加入后，从 set 中删去以下飞机：

1. set 中最早抵达的飞机 $p_0$ ，并将当前的 $cnt + 1$ 。
2. 在 $p_0$ 离开后最早抵达的飞机 $p_1$ ，并将当前的 $cnt + 1$ 。
3. 在 $p_1$ 离开后最早抵达的飞机 $p_2$ ，并将当前的 $cnt + 1$ 。

以此类推，直到没有飞机可以操作为止。该操作可以使用 lower_bound 查找来降低时间复杂度。完成后将新增的可以停靠廊桥的飞机加入答案数组中。

国际航班同理，按照上述步骤操作即可。

时间复杂度 $O(m \log m)$ 。

#代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m[2], a, b, cnt[2][100005], ans;
set<pair<int, int>> s;

int main() {
    cin >> n >> m[0] >> m[1];
    for (int k = 0; k < 2; k++) {
        for (int i = 1; i <= m[k]; i++) {
            cin >> a >> b;
            s.insert(make_pair(a, b));
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int p = 0, c = 0;
            while (true) {
                auto it = s.lower_bound(make_pair(p, 0));
                if (it == s.end()) break;
                p = it->second;
                s.erase(it);
                c++;
            }
            cnt[k][i] = cnt[k][i - 1] + c;
        }
        s.clear();
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, cnt[0][i] + cnt[1][n - i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}