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「HNOI2010」弹飞绵羊

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

某天,Lostmonkey 发明了一种超级弹力装置,为了在他的绵羊朋友面前显摆,他邀请小绵羊一起玩个游戏。

游戏一开始,Lostmonkey 在地上沿着一条直线摆上 nn 个装置,每个装置设定初始弹力系数 kik_i,当绵羊达到第 ii 个装置时,它会往后弹 kik_i 步,达到第 i+kii + k_i 个装置,若不存在第 i+kii + k_i 个装置,则绵羊被弹飞。

绵羊想知道当它从第 ii 个装置起步时,被弹几次后会被弹飞。为了使得游戏更有趣,Lostmonkey 可以修改某个弹力装置的弹力系数,任何时候弹力系数均为正整数。

#输入格式

第一行包含一个整数 nn,表示地上有 nn 个装置,装置的编号从 0n10 \sim n - 1

接下来一行有 nn 个正整数,依次为那 nn 个装置的初始弹力系数。

第三行有一个正整数 mm,表示操作次数。接下来 mm 行每行至少有两个数 i,ji,j

  • i=1i = 1,你要输出从 jj 出发被弹几次后被弹飞;
  • i=2i = 2,则还会再输入一个正整数 kk,表示第 jj 个弹力装置的系数被修改成 kk

#输出格式

对于每个 i=1i = 1 的操作,输出一行一个整数表示答案。

#输入输出样例

样例输入 #1

4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1

样例输出 #1

2
3

#数据范围与约定

对于 20%20\% 的数据,1n,m1041 \le n, m \le 10^4
对于 100%100\% 的数据,1n2×1051 \le n \le 2 \times 10^51m1051 \le m \le 10^5

#思路

首先将题中给的所有编号 +1+ 1 方便计算。

设节点 n+1n + 1 为终点,从所有可以弹飞的点连一条边到这个点上,就可以用 LCT 来求出路径上的节点数了。也有作为森林维护的方法,此处不再做过多说明。

#代码

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#include <iostream>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 2e5 + 5;

int n, m, a[N];

class LinkCutTree {
private:
struct node {
size_t l, r, f;
unsigned s;
bool rev;

node()
: l(0), r(0), f(0), s(0), rev(false) {}

node(size_t _f)
: l(0), r(0), f(_f), s(1), rev(false) {}

size_t &child(unsigned x) {
return !x ? l : r;
}
} tr[N];

inline void pushup(size_t u) {
tr[u].s = tr[tr[u].l].s + 1 + tr[tr[u].r].s;
}

inline void pushdown(const size_t &u) {
if (!tr[u].rev) return;

std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[tr[u].l].rev = !tr[tr[u].l].rev;
tr[tr[u].r].rev = !tr[tr[u].r].rev;
tr[u].rev = false;
}

unsigned relation(const size_t &u) {
return u == tr[tr[u].f].l ? 0 : 1;
}

bool isRoot(const size_t &u) {
return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}

void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);

if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;

if (tr[u].child(x ^ 1)) {
tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
}
tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

tr[u].child(x ^ 1) = p;
tr[p].f = u;

pushup(p);
pushup(u);
}

void splay(size_t u) {
std::stack<size_t> st;

size_t cur = u;
st.push(cur);
while (!isRoot(cur)) {
st.push(tr[cur].f);
cur = tr[cur].f;
}

while (!st.empty()) {
pushdown(st.top());
st.pop();
}

while (!isRoot(u)) {
if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
}

void access(size_t u) {
for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
splay(u);
tr[u].r = f;
pushup(u);
}
}

void makeRoot(const size_t &u) {
access(u);
splay(u);
tr[u].rev = !tr[u].rev;
}

size_t findRoot(size_t u) {
access(u);
splay(u);

while (tr[u].l) {
u = tr[u].l;
}

return u;
}

void split(const size_t &x, const size_t &y) {
makeRoot(x);
access(y);
splay(y);
}

public:
unsigned query(int x, int y) {
split(x, y);

return tr[y].s;
}

void link(const int &x, const int &y) {
makeRoot(x);

if (findRoot(y) != x) {
tr[x].f = y;
}
}

void cut(int x, int y) {
split(x, y);

if (tr[y].l == x) {
tr[y].l = 0;
tr[x].f = 0;
}
}
} lct;

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];

lct.link(i, std::min(i + a[i], n + 1));
}

cin >> m;

while (m--) {
int op, x, y;

cin >> op;

if (op == 1) {
cin >> x;

cout << lct.query(x + 1, n + 1) - 1 << endl;
} else { // op == 2
cin >> x >> y;

x++;
lct.cut(x, std::min(x + a[x], n + 1));
lct.link(x, std::min(x + (a[x] = y), n + 1));
}
}

return 0;
}