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本博客自 2023 年 4 月 4 日起转为归档状态，不再发表新的博文。请查看《我的 OI 生涯 —— 一名退役竞赛生的回忆录》一文了解博主的竞赛生涯。

「HNOI2010」弹飞绵羊

题解约 1.2 千字
# 洛谷 # BZOJ # 数据结构 # HNOI # 2010 # 动态树 # Link-Cut Tree # Splay
检测到 KaTeX 加载失败，可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

某天，Lostmonkey 发明了一种超级弹力装置，为了在他的绵羊朋友面前显摆，他邀请小绵羊一起玩个游戏。

游戏一开始，Lostmonkey 在地上沿着一条直线摆上 nn 个装置，每个装置设定初始弹力系数 kik_i，当绵羊达到第 ii 个装置时，它会往后弹 kik_i 步，达到第 i+kii + k_i 个装置，若不存在第 i+kii + k_i 个装置，则绵羊被弹飞。

绵羊想知道当它从第 ii 个装置起步时，被弹几次后会被弹飞。为了使得游戏更有趣，Lostmonkey 可以修改某个弹力装置的弹力系数，任何时候弹力系数均为正整数。

#输入格式

第一行包含一个整数 nn，表示地上有 nn 个装置，装置的编号从 0∼n−10 \sim n - 1。

接下来一行有 nn 个正整数，依次为那 nn 个装置的初始弹力系数。

第三行有一个正整数 mm，表示操作次数。接下来 mm 行每行至少有两个数 i,ji,j。

  • 若 i=1i = 1，你要输出从 jj 出发被弹几次后被弹飞；
  • 若 i=2i = 2，则还会再输入一个正整数 kk，表示第 jj 个弹力装置的系数被修改成 kk。

#输出格式

对于每个 i=1i = 1 的操作，输出一行一个整数表示答案。

#输入输出样例

样例输入 #1

4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1

样例输出 #1

2
3

#数据范围与约定

对于 20%20\% 的数据，1≤n,m≤1041 \le n, m \le 10^4；
对于 100%100\% 的数据，1≤n≤2×1051 \le n \le 2 \times 10^5，1≤m≤1051 \le m \le 10^5。

#思路

首先将题中给的所有编号 +1+ 1 方便计算。

设节点 n+1n + 1 为终点，从所有可以弹飞的点连一条边到这个点上，就可以用 LCT 来求出路径上的节点数了。也有作为森林维护的方法，此处不再做过多说明。

#代码

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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#include <iostream>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 2e5 + 5;

int n, m, a[N];

class LinkCutTree {
  private:
    struct node {
        size_t l, r, f;
        unsigned s;
        bool rev;

        node()
            : l(0), r(0), f(0), s(0), rev(false) {}

        node(size_t _f)
            : l(0), r(0), f(_f), s(1), rev(false) {}

        size_t &child(unsigned x) {
            return !x ? l : r;
        }
    } tr[N];

    inline void pushup(size_t u) {
        tr[u].s = tr[tr[u].l].s + 1 + tr[tr[u].r].s;
    }

    inline void pushdown(const size_t &u) {
        if (!tr[u].rev) return;

        std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
        tr[tr[u].l].rev = !tr[tr[u].l].rev;
        tr[tr[u].r].rev = !tr[tr[u].r].rev;
        tr[u].rev = false;
    }

    unsigned relation(const size_t &u) {
        return u == tr[tr[u].f].l ? 0 : 1;
    }

    bool isRoot(const size_t &u) {
        return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
    }

    void rotate(size_t u) {
        size_t p = tr[u].f;
        unsigned x = relation(u);

        if (!isRoot(p)) {
            tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
        }
        tr[u].f = tr[p].f;

        if (tr[u].child(x ^ 1)) {
            tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
        }
        tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

        tr[u].child(x ^ 1) = p;
        tr[p].f = u;

        pushup(p);
        pushup(u);
    }

    void splay(size_t u) {
        std::stack<size_t> st;

        size_t cur = u;
        st.push(cur);
        while (!isRoot(cur)) {
            st.push(tr[cur].f);
            cur = tr[cur].f;
        }

        while (!st.empty()) {
            pushdown(st.top());
            st.pop();
        }

        while (!isRoot(u)) {
            if (isRoot(tr[u].f)) {
                rotate(u);
            } else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
                rotate(tr[u].f);
                rotate(u);
            } else {
                rotate(u);
                rotate(u);
            }
        }
    }

    void access(size_t u) {
        for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
            splay(u);
            tr[u].r = f;
            pushup(u);
        }
    }

    void makeRoot(const size_t &u) {
        access(u);
        splay(u);
        tr[u].rev = !tr[u].rev;
    }

    size_t findRoot(size_t u) {
        access(u);
        splay(u);

        while (tr[u].l) {
            u = tr[u].l;
        }

        return u;
    }

    void split(const size_t &x, const size_t &y) {
        makeRoot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }

  public:
    unsigned query(int x, int y) {
        split(x, y);

        return tr[y].s;
    }

    void link(const int &x, const int &y) {
        makeRoot(x);

        if (findRoot(y) != x) {
            tr[x].f = y;
        }
    }

    void cut(int x, int y) {
        split(x, y);

        if (tr[y].l == x) {
            tr[y].l = 0;
            tr[x].f = 0;
        }
    }
} lct;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];

        lct.link(i, std::min(i + a[i], n + 1));
    }

    cin >> m;

    while (m--) {
        int op, x, y;

        cin >> op;

        if (op == 1) {
            cin >> x;

            cout << lct.query(x + 1, n + 1) - 1 << endl;
        } else {  // op == 2
            cin >> x >> y;

            x++;
            lct.cut(x, std::min(x + a[x], n + 1));
            lct.link(x, std::min(x + (a[x] = y), n + 1));
        }
    }

    return 0;
}