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JZOJ - 5806. 简单的操作

题解984 字
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#题面

#题目描述

有个包含 nn 个点，mm 条边，无自环和重边的无向图。

对于两个没有直接连边的点 u,vu, v，你可以将它们合并。具体来说，你可以删除 u,vu, v 及所有以它们作为端点的边，然后加入一个新点 xx，将它与所有在原图中与 uu 或 vv 直接连边的点连边。

你需要判断是否能通过若干次合并操作使得原图成为一条链，如果能，你还需要求出这条链的最大长度。

#输入格式

第一行两个正整数 n,mn, m，表示图的点数和边数。

接下来 mm 行，每行两个正整数 u,vu, v，表示 uu 和 vv 之间有一条无向边。

#输出格式

如果能通过若干次合并操作使得原图成为一条链，输出链的最大长度，否则输出$ -1 $

#输入输出样例

样例输入 #1

5 4
1 2
2 3
3 4
3 5

样例输出 #1

3

样例解释 #1

只要合并 44 和 55 就变成一条长度为 33 的链。

样例输入 #2

4 6
1 2
2 3
1 3
3 4
2 4
1 4

样例输出 #2

-1

#数据范围与约定

对于 30%30\% 的数据，n≤10n \leq 10；
对于 70%70\% 的数据，m≤2000m \leq 2000；
对于 100%100\% 的数据，n≤1000n \leq 1000，m≤105m \leq 10^5。

#思路

先考虑整张图连通的情况。

如果原图不是二分图则无解，因为对于一个长度大于 33 的奇环，如果合并环上任意两个不相邻的点，一定会生成一个更小的奇环，最后剩下一个无法继续合并的三元环，无法满足题目要求。

那么对于任意一个联通的二分图，可以钦定一个点 ss，然后将所有与 ss 距离相同的点合并。由于原图是二分图，所有与 ss 联通的点必然在同一个点集中（两点间一定不会直接相连），这样就可以构造出一条最长链了。这条最长链的长度就是这个图的直径。

再考虑整张图有多个连通分量的情况。

对于每个连通分量都可以构造出一条链，然后再将这些链合并成一条长链即可，这条长链的长度为所有连通分量的直径之和。

#代码

C++
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#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <utility>
#include <vector>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1005;

int n, m, color[N], ans;
int cnt, id[N];
bool vis[N];
std::vector<int> g[N];
std::unordered_set<int> p[N];

bool dfs1(int u, int c) {
    color[u] = c;

    for (int v : g[u]) {
        if (color[v]) {
            if (color[v] == c) return false;
        } else if (!dfs1(v, 3 - c)) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

bool check() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!color[i]) {
            if (!dfs1(i, 1)) return false;
        }
    }

    return true;
}

void dfs2(int u, int x) {
    id[u] = x;
    p[x].insert(u);

    for (int v : g[u]) {
        if (!id[v]) dfs2(v, x);
    }
}

int bfs(int x) {
    std::fill_n(vis, N, false);

    int res = 0;

    std::queue<std::pair<int, int>> q;

    q.emplace(x, 0);
    vis[x] = true;

    while (!q.empty()) {
        auto e = q.front();
        q.pop();

        int u = e.first,
            w = e.second;

        res = std::max(res, w);

        for (int v : g[u]) {
            if (vis[v]) continue;
            vis[v] = true;

            q.emplace(v, w + 1);
        }
    }

    return res;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v;

        g[u].emplace_back(v);
        g[v].emplace_back(u);
    }

    if (!check()) {
        cout << -1 << endl;

        exit(0);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!id[i]) dfs2(i, ++cnt);
    }

    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        int res = 0;

        for (const int &x : p[i]) {
            res = std::max(res, bfs(x));
        }

        ans += res;
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}