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LibreOJ - 2363. 愤怒的小鸟

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

题面

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 (0,0)(0, 0) 处,每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟,小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax2+bxy = ax^2 + bx 的曲线,其中 a,ba, b 是 Kiana 指定的参数,且必须满足 a<0a < 0a,ba, b 都是实数。

当小鸟落回地面(即 xx 轴)时,它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有 nn 只绿色的小猪,其中第 ii 只小猪所在的坐标为 (xi,yi)(x_i, y_i)

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi,yi)(x_i, y_i),那么第 ii 只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行;

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi,yi)(x_i, y_i),那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。

例如,若两只小猪分别位于 (1,3)(1, 3)(3,3)(3, 3),Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=x2+4xy = -x^2 + 4x 的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难,所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在「输入格式」中详述。

假设这款游戏一共有 TT 个关卡,现在 Kiana 想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算,所以希望由你告诉她。

输入格式

第一行包含一个正整数 TT,表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 TT 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,mn, m,分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 nn 行中,第 ii 行包含两个正实数 xi,yix_i, y_i,表示第 ii 只小猪坐标为 (xi,yi)(x_i, y_i)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0m = 0,表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1m = 1,则这个关卡将会满足:至多用 n/3+1\lceil n/3 + 1 \rceil 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2m = 2,则这个关卡将会满足:一定存在一种最优解,其中有一只小鸟消灭了至少 n/3\lfloor n/3 \rfloor 只小猪。

保证 1n181 \leq n \leq 180m20 \leq m \leq 20<xi,yi<100 < x_i, y_i < 10,输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中,符号 c\lceil c \rceilc\lfloor c \rfloor 分别表示对 cc 向上取整和向下取整,例如:2.1=2.9=3.0=3.0=3.1=3.9=3\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3

输出格式

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数,表示相应的关卡中,消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

样例输入 #1

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

样例输出 #1

1
1

样例解释 #1

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与「问题描述」中的情形相同,22 只小猪分别位于 (1.00,3.00)(1.00, 3.00)(3.00,3.00)(3.00, 3.00),只需发射一只飞行轨迹为 y=x2+4xy = -x^2 + 4x 的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有 55 只小猪,但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 y=x2+6xy = -x^2 + 6x 上,故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

样例输入 #2

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

样例输出 #2

2
2
3

样例输入 #3

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

样例输出 #3

6

数据范围与约定

测试点编号 nn \leqslant m=m = TT \leqslant
11 22 00 1010
22 3030
33 33 1010
44 3030
55 44 1010
66 3030
77 55 1010
88 66
99 77
1010 88
1111 99 3030
1212 1010
1313 1212 11
1414 22
1515 1515 00 1515
1616 11
1717 22
1818 1818 00 55
1919 11
2020 22

思路

查看数据范围,发现 n18n \leq 18,所以可以考虑状压 DP。

fsf_s 表示状态为 ss 时使用的小鸟数量,当 ss 的第 kk 位为 11 时表示第 kk 只小猪被已经消灭掉了。

引理:

在同一平面内,过不共线且横坐标各不相同的三点有且仅有一条抛物线。

那么除去原点,再找出两个点即可确定一条唯一的抛物线。

枚举所有可能的抛物线,有以下几种情况:

  1. 按照该抛物线飞行的小鸟不能消灭任何小猪。

    此时对答案没有贡献,故舍弃。

  2. 按照该抛物线飞行的小鸟只能消灭 11 只小猪。

  3. 按照该抛物线飞行的小鸟能消灭不少于 22 只小猪。

    此时遍历所有的小猪的位置并判断能否消灭掉它,按照位置记录状态即可。

可以证明满足第二点情况的抛物线一定存在。那么我们只需要构造出符合第三点情况的抛物线即可。

{ax12+bx1=y1(1)ax22+bx2=y2(2)\begin{cases} a x_1^2 + b x_1 = y_1 & \text{(1)} \\ a x_2^2 + b x_2 = y_2 & \text{(2)} \\ \end{cases}

(2)÷x2(2) \div x_2,有:

ax2+b=y2x2(3)\tag{3} a x_2 + b = \frac{y_2}{x_2}

(3)×x1(3) \times x_1,有:

ax2x1+bx1=y2x1x2(4)\tag{4} a x_2 x_1 + b x_1 = \frac{y_2 x_1}{x_2}

(1)(4)(1) - (4) 并移项,有:

a=y1y2x1x2x1(x1x2)(5)\tag{5} \large a = \frac{y_1 - \frac{y_2 x_1}{x_2}}{x_1 (x_1 - x_2)}

再推导 bb 的求值式,(2)÷x22(2) \div x_2^2

a+bx22=y2x22(6)\tag{6} a + \frac{b}{x_2^2} = \frac{y_2}{x_2^2}

(6)×x12(6) \times x_1^2,有:

ax12+bx1x22=y2x1x22(7)\tag{7} a x_1^2 + \frac{b x_1}{x_2^2} = \frac{y_2 x_1}{x_2^2}

(1)(7)(1) - (7) 并移项,有:

b=y1y2x12x22x12x12x2(8)\tag{8} \large b = \frac{y_1 - \frac{y_2 x_1^2}{x_2^2}}{x_1^2 - \frac{x_1^2}{x_2}}

详细实现可以查看下方的代码。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 20;
const double eps = 1e-6;

int t, n, m, cnt, f[1 << N], s[N << 4];
std::pair<double, double> points[N];

inline std::pair<double, double> e(const std::pair<double, double> &a, const std::pair<double, double> &b) {
    return std::make_pair(
        (a.second - b.second * a.first / b.first) / (a.first * (a.first - b.first)),
        (a.second - b.second * a.first * a.first / (b.first * b.first)) / (a.first - a.first * a.first / b.first));
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> t;

    while (t--) {
        cnt = 0;
        memset(f, 0x3f, sizeof(f));
        memset(s, 0x00, sizeof(s));

        cin >> n >> m;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> points[i].first >> points[i].second;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if (std::abs(points[i].first - points[j].first) < eps) continue;

                auto r = e(points[i], points[j]);
                if (r.first > -eps) continue;

                cnt++;
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if (std::abs(r.first * points[k].first * points[k].first + r.second * points[k].first - points[k].second) < eps) {
                        s[cnt] |= 1 << k;
                    }
                }
            }
        }

        f[0] = 0;
        for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {
            // 两只及以上
            for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
                f[i | s[j]] = std::min(f[i | s[j]], f[i] + 1);
            }
            // 一只
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                f[i | 1 << j] = std::min(f[i | 1 << j], f[i] + 1);
            }
        }

        cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
    }

    return 0;
}