「NOIP 2020」排水系统

题面

题目描述

对于一个城市来说，排水系统是极其重要的一个部分。

有一天，小 C 拿到了某座城市排水系统的设计图。排水系统由 $n$ 个排水结点（它们从 $1 \sim n$ 编号）和若干个单向排水管道构成。每一个排水结点有若干个管道用于汇集其他排水结点的污水（简称为该结点的汇集管道），也有若干个管道向其他的排水结点排出污水（简称为该结点的排出管道）。

排水系统的结点中有 $m$ 个污水接收口，它们的编号分别为 $1, 2, \ldots , m$，污水只能从这些接收口流入排水系统，并且这些结点没有汇集管道。排水系统中还有若干个最终排水口，它们将污水运送到污水处理厂，没有排出管道的结点便可视为一个最终排水口。

现在各个污水接收口分别都接收了 $1$ 吨污水，污水进入每个结点后，会均等地从当前结点的每一个排出管道流向其他排水结点，而最终排水口将把污水排出系统。

现在小 C 想知道，在该城市的排水系统中，每个最终排水口会排出多少污水。该城市的排水系统设计科学，管道不会形成回路，即不会发生污水形成环流的情况。

输入格式

第一个两个用单个空格分隔的整数 $n, m$。分别表示排水结点数与接收口数量。

接下来 $n$ 行，第 $i$ 行用于描述结点 $i$ 的所有排出管道。其中每行第一个整数 $d_i$ 表示其排出管道的数量，接下来 $d_i$ 个用单个空格分隔的整数 $a_1, a_2, \ldots , a_{d_i}$ 依次表示管道的目标排水结点。

保证不会出现两条起始结点与目标结点均相同的管道。

输出格式

输出若干行，按照编号从小到大的顺序，给出每个最终排水口排出的污水体积。其中体积使用分数形式进行输出，即每行输出两个用单个空格分隔的整数 $p$，$q$，表示排出的污水体积为 $\frac{p}{q}$。要求 $p$ 与 $q$ 互素，$q = 1$ 时也需要输出 $q$。

输入输出样例

样例输入 #1

5 1
3 2 3 5
2 4 5
2 5 4
0
0

样例输出 #1

1 3
2 3

样例解释 #1

$1$ 号结点是接收口，$4, 5$ 号结点没有排出管道，因此是最终排水口。 $1$ 吨污水流入 $1$ 号结点后，均等地流向 $2, 3, 5$ 号结点，三个结点各流入 $\frac{1}{3}$ 吨污水。 $2$ 号结点流入的 $\frac{1}{3}$ 吨污水将均等地流向 $4, 5$ 号结点，两结点各流入 $\frac{1}{6}$ 吨污水。 $3$ 号结点流入的 $\frac{1}{3}$ 吨污水将均等地流向 $4, 5$ 号结点，两结点各流入 $\frac{1}{6}$ 吨污水。 最终，$4$ 号结点排出 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ 吨污水，$5$ 号结点排出 $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ 吨污水。

数据范围与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \le n \le {10}^5$，$1 \le m \le 10$，$0 \le d_i \le 5$。

数据保证，污水在从一个接收口流向一个最终排水口的过程中，不会经过超过 $10$ 个中间排水结点（即接收口和最终排水口不算在内）。

思路

从 $1 \sim m$ 节点开始向下搜索，如果搜到没有排水口的节点就更新节点的 $ans$ 。

▲ 样例 1 的搜索过程

需要注意的分子和分母需要单独存，不能使用浮点型存储，否则会有精度问题。

在均分的时候只需要将分母除以节点数即可，如下方所示：

$$\begin{aligned} &\frac{2}{3} \div 4 \\ =& \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \\ =& \frac{2}{3 \times 4}\\ =& \frac{2}{12} =& \frac{1}{6} \end{aligned}$$

在相加的时候可以这样做：

$$\begin{aligned} &\frac{2}{3} + \frac{3}{4} \\ =& \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{3\times 3}{3 \times 4}\\ =& \frac{2 \times 4 + 3 \times 4}{3\times 4}\\ =& \frac{20}{12}\\ =& \frac{5}{3} \end{aligned}$$

赛场 AC 用时：1 小时。

别忘了开 long long 。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m, d, t;
vector<int> u[100005];
pair<long long, long long> ans[100005];

long long gcd(long long a, long long b) {
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a%b);
}

void dfs(int x, long long first, long long second) {
    if(u[x].empty()) {
        if(ans[x].first && ans[x].second) {
            if(ans[x].second == second) {
                ans[x].first += first;
                long long tmp = gcd(ans[x].first, ans[x].second);
                ans[x].first /= tmp;
                ans[x].second /= tmp;
            }
            else {
                first *= ans[x].second;
                ans[x].first *= second;
                ans[x].first += first;
                ans[x].second *= second;
                long long tmp = gcd(ans[x].first, ans[x].second);
                ans[x].first /= tmp;
                ans[x].second /= tmp;
            }
        }
        else {
            ans[x].first = first;
            ans[x].second = second;
        }
        return;
    }
    int s = u[x].size();
    second *= s;
    for(int i = 0 ; i < s; i++) {
        dfs(u[x][i], first, second);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        cin >> d;
        for(int j = 1 ; j <= d ; j++) {
            cin >> t;
            u[i].push_back(t);
        }
    }
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
        dfs(i, 1, 1);
    }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        if(u[i].empty()) {
            cout << ans[i].first << ' ' << ans[i].second << endl;
        }
    }
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m, d, t;
vector<int> u[100005];
pair<__int128, __int128> ans[100005];

ostream& operator<<(ostream &__ostream, __int128 __n) {
    string __o;
    while (__n) {
        __o.push_back(__n%10+'0');
        __n /= 10;
    }
    reverse(__o.begin(), __o.end());
    return __ostream << __o;
}

__int128 gcd(__int128 a, __int128 b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

void dfs(int x, __int128 first, __int128 second) {
    if (u[x].empty()) {
        if (ans[x].first && ans[x].second) {
            if (ans[x].second == second) {
                ans[x].first += first;
                __int128 tmp = gcd(ans[x].first, ans[x].second);
                ans[x].first /= tmp;
                ans[x].second /= tmp;
            }
            else {
                first *= ans[x].second;
                ans[x].first *= second;
                ans[x].first += first;
                ans[x].second *= second;
                __int128 tmp = gcd(ans[x].first, ans[x].second);
                ans[x].first /= tmp;
                ans[x].second /= tmp;
            }
        }
        else {
            ans[x].first = first;
            ans[x].second = second;
        }
        return;
    }
    int s = u[x].size();
    second *= s;
    for (int i = 0; i < s; i++) {
        dfs(u[x][i], first, second);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> d;
        for (int j = 1; j <= d; j++) {
            cin >> t;
            u[i].push_back(t);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dfs(i, 1, 1);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (u[i].empty()) {
            cout << ans[i].first << ' ' << ans[i].second << endl;
        }
    }
    return 0;
}