Skip to content

「网络流 24 题」方格取数问题

题解887 字
# 洛谷 # BZOJ # LibreOJ # 图论 # 网络流 # 最大流 # 网络流 24 题
检测到 KaTeX 加载失败，可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

有一个 mm 行 nn 列的方格图，每个方格中都有一个正整数。现要从方格中取数，使任意两个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大，请求出最大的和。

#输入格式

第一行是两个用空格隔开的整数，分别代表方格图的行数 mm 和列数 nn。

第 22 到第 (m+1)(m + 1) 行，每行 nn 个整数，第 (i+1)(i + 1) 行的第 jj 个整数代表方格图第 ii 行第 jj 列的的方格中的数字 ai,ja_{i, j}。

#输出格式

输出一行一个整数，代表和最大是多少。

#样例输入输出

样例输入 #1

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1

样例输出 #1

11

#数据规模与约定

对于 100%100\% 的数据，保证 1≤n,m≤1001 \leq n, m \leq 100，1≤ai,j≤1051 \leq a_{i, j} \leq 10^5。

#思路

可以对整个方格图进行黑白染色，将 (x+y) mod 2=1(x + y) \bmod 2 = 1 的点设为黑点，如下图所示：

可以发现，若取一个黑格的点，受到影响的就是周围的白点。然后可以建一个二分图，这道题就可以用最小割求解了。

新建一个超级源点，将所有黑点连到这个超级源点上，容量为点权；
再新建一个超级汇点，将所有白点连接到这个超级汇点上，容量为点权；
最后将每一个黑点连接到会被这个点影响到的白点上，容量为 +∞+ \infty。

答案为方格图中所有点的点权和再减去最小割。

#代码

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <limits>
#include <queue>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1005,
          M = 100005;
const int to[4][2] = {{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}};

int m, n, u, s, t, flow, ans, sum;

// Graph
int idx, head[N], edge[M << 1], ver[M << 1], next[M << 1];

void add(int u, int v, int w) {
    next[idx] = head[u];
    ver[idx] = v;
    edge[idx] = w;
    head[u] = idx++;
}

// Dinic
int d[N], cur[N];

bool bfs() {
    memset(d, 0x00, sizeof(d));
    std::queue<int> q;
    d[s] = 1;
    q.push(s);
    cur[s] = head[s];

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();

        for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
            int v = ver[i],
                w = edge[i];
            if (w && !d[v]) {
                d[v] = d[u] + 1;
                cur[v] = head[v];
                if (v == t) return true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return false;
}

int dinic(int u, int limit) {
    if (u == t) return limit;

    int flow = 0;
    for (int &i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
        int v = ver[i],
            w = edge[i];
        if (w && d[v] == d[u] + 1) {
            int k = dinic(v, std::min(limit - flow, w));
            if (!k) d[v] = 0;
            edge[i] -= k;
            edge[i ^ 1] += k;
            flow += k;
        }
    }

    return flow;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    memset(head, 0xff, sizeof(head));

    cin >> n >> m;
    s = 0, t = n * m + 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int w, u = (i - 1) * m + j;
            cin >> w;
            sum += w;

            if ((i + j) & 1) {
                add(s, u, w);
                add(u, s, 0);

                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int xx = i + to[k][0],
                        yy = j + to[k][1];
                    if (1 <= xx && xx <= n && 1 <= yy && yy <= m) {
                        int v = (xx - 1) * m + yy;
                        add(u, v, std::numeric_limits<int>::max());
                        add(v, u, 0);
                    }
                }
            } else {
                add(u, t, w);
                add(t, u, 0);
            }
        }
    }

    while (bfs()) {
        while (flow = dinic(s, std::numeric_limits<int>::max())) ans += flow;
    }

    cout << sum - ans << endl;
    return 0;
}