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Link-Cut Tree 学习笔记

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

Link-Cut Tree 是一种用来解决动态树问题的数据结构。

它采用类似树链剖分的轻重边路径剖分,把树边分为实边和虚边,并用 Splay 来维护每一条实路径。Link-Cut Tree 的基本操作复杂度为均摊 O(logn)O(\log n),但常数因子较大,一般效率会低于树链剖分。

#主要操作

#Splay 相关

LCT 中的 Splay 与原版 Splay 之间存在一定差别。

#isRoot 函数

判断节点 uu 是否为其所属 Splay 的根。

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bool isRoot(const size_t &u) {
return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}

#旋转(rotate)操作

判断根不能以父亲节点是否存在为依据,而应该使用上文中的 isRoot() 函数。

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 void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);

- if (tr[p].f) {
+ if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;
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void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);

if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;

if (tr[u].child(x ^ 1)) {
tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
}
tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

tr[u].child(x ^ 1) = p;
tr[p].f = u;

pushup(p);
pushup(u);
}

#Splay 操作

要先自顶到下将路径上的所有节点 pushdown 后再进行 Splay 操作。

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-void splay(size_t u, size_t t = 0) {
+void splay(size_t u) {
+ std::stack<size_t> st;

+ size_t cur = u;
+ st.push(cur);
+ while (!isRoot(cur)) {
+ st.push(tr[cur].f);
+ cur = tr[cur].f;
+ }

+ while (!st.empty()) {
+ pushdown(st.top());
+ st.pop();
+ }

- while (tr[u].f != t) {
- if (tr[tr[u].f].f == t) {
+ while (!isRoot(u)) {
+ if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
-
- if (!t) root = u;
}
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void splay(size_t u) {
std::stack<size_t> st;

size_t cur = u;
st.push(cur);
while (!isRoot(cur)) {
st.push(tr[cur].f);
cur = tr[cur].f;
}

while (!st.empty()) {
pushdown(st.top());
st.pop();
}

while (!isRoot(u)) {
if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
}

#Access 操作

该操作意为「访问」节点 uu,被访问过的节点会有一条实路径连接到根节点,且该节点在这条路径的头部(最下端)。

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void access(size_t u) {
for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
splay(u);
tr[u].r = f;
pushup(u);
}
}

#makeRoot 操作

使节点 uu 成为原树的根。

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void makeRoot(const size_t &u) {
access(u);
splay(u);
tr[u].rev = !tr[u].rev;
}

#Split 操作

xyx \sim y 的路径单独抽成一棵 Splay。

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void split(const size_t &x, const size_t &y) {
makeRoot(x);
access(y);
splay(y);
}

xx 节点和 yy 节点之间连一条边,使其成为同一棵树内的两个节点。

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void link(const int &x, const int &y) {
makeRoot(x);

if (findRoot(y) != x) {
tr[x].f = y;
}
}

#Cut 操作

切断 xxyy 之间的路径。

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void cut(int x, int y) {
split(x, y);

if (tr[y].l == x) { // 只有路径存在时才删除
tr[y].l = 0;
tr[x].f = 0;
}
}

#代码

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#include <iostream>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5;

class LinkCutTree {
private:
struct node {
size_t l, r, f;
unsigned v, s;
bool rev;

node()
: l(0), r(0), f(0), s(0), v(0), rev(false) {}

node(unsigned _v, size_t _f)
: l(0), r(0), f(_f), s(_v), v(_v), rev(false) {}

size_t &child(unsigned x) {
return !x ? l : r;
}
} tr[N];

inline void pushup(size_t u) {
tr[u].s = tr[tr[u].l].s ^ tr[u].v ^ tr[tr[u].r].s;
}

inline void pushdown(const size_t &u) {
if (!tr[u].rev) return;

std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[tr[u].l].rev = !tr[tr[u].l].rev;
tr[tr[u].r].rev = !tr[tr[u].r].rev;
tr[u].rev = false;
}

unsigned relation(const size_t &u) {
return u == tr[tr[u].f].l ? 0 : 1;
}

bool isRoot(const size_t &u) {
return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}

void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);

if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;

if (tr[u].child(x ^ 1)) {
tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
}
tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

tr[u].child(x ^ 1) = p;
tr[p].f = u;

pushup(p);
pushup(u);
}

void splay(size_t u) {
std::stack<size_t> st;

size_t cur = u;
st.push(cur);
while (!isRoot(cur)) {
st.push(tr[cur].f);
cur = tr[cur].f;
}

while (!st.empty()) {
pushdown(st.top());
st.pop();
}

while (!isRoot(u)) {
if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
}

void access(size_t u) {
for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
splay(u);
tr[u].r = f;
pushup(u);
}
}

void makeRoot(const size_t &u) {
access(u);
splay(u);
tr[u].rev = !tr[u].rev;
}

size_t findRoot(size_t u) {
access(u);
splay(u);

while (tr[u].l) {
u = tr[u].l;
}

return u;
}

void split(const size_t &x, const size_t &y) {
makeRoot(x);
access(y);
splay(y);
}

public:
void set(int p, int v) {
tr[p].s = tr[p].v = v;
}

unsigned query(int x, int y) {
split(x, y);

return tr[y].s;
}

void link(const int &x, const int &y) {
makeRoot(x);

if (findRoot(y) != x) {
tr[x].f = y;
}
}

void cut(int x, int y) {
split(x, y);

if (tr[y].l == x) {
tr[y].l = 0;
tr[x].f = 0;
}
}

void change(int p, int v) {
access(p);
splay(p);
tr[p].v = v;
pushup(p);
}
} lct;

int n, m;

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

cin >> n >> m;

for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
cin >> x;

lct.set(i, x);
}

while (m--) {
int op, x, y;

cin >> op >> x >> y;

switch (op) {
case 0: {
cout << lct.query(x, y) << endl;

break;
}
case 1: {
lct.link(x, y);

break;
}
case 2: {
lct.cut(x, y);

break;
}
case 3: {
lct.change(x, y);

break;
}
}
}

return 0;
}
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5;

// Link-Cut Tree
class LinkCutTree {
private:
std::stack<bool> st;

struct node {
int p, // 父亲节点
l, // 左儿子
r; // 右儿子
int pre;
int val, // 节点值
sum; // 异或和
int key; // 权值
bool rev; // 翻转标记

node()
: p(0), l(0), r(0), pre(0), val(0), sum(0), key(rand()), rev(false) {}
} tr[N];

void pushup(int u) {
// 计算异或和
tr[u].sum = tr[tr[u].l].sum ^ tr[u].val ^ tr[tr[u].r].sum;

// 标记父亲节点
if (tr[u].l) tr[tr[u].l].p = u;
if (tr[u].r) tr[tr[u].r].p = u;
}

void pushdown(int u) {
if (!tr[u].rev) return;

tr[u].rev = false;
std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[tr[u].l].rev ^= 1;
tr[tr[u].r].rev ^= 1;
}

std::pair<int, int> split(int u) {
if (st.empty()) {
pushdown(u);
auto t = std::make_pair(u, tr[u].r);
tr[u].r = 0;
pushup(u);

return t;
}

bool d = st.top() ^ tr[u].rev;
st.pop();

pushdown(u);

if (d) {
auto t = split(tr[u].l);
tr[u].l = t.second;
pushup(u);

return std::make_pair(t.first, u);
}

auto t = split(tr[u].r);
tr[u].r = t.first;
pushup(u);

return std::make_pair(u, t.second);
}

// 合并
int merge(int x, int y) {
if (!x || !y) return x | y;

if (tr[x].key < tr[y].key) {
pushdown(x);
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}

pushdown(y);
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}

// 是否是根节点
bool isRoot(int u) {
return !tr[u].p || (tr[tr[u].p].l != u && tr[tr[u].p].r != u);
}

// 查找根节点
int findRoot(int u) {
while (!st.empty()) st.pop();
while (!isRoot(u)) {
// pushdown(u);
st.push(tr[tr[u].p].l == u);
u = tr[u].p;
}
return u;
}

int findLeft(int u) {
u = findRoot(u);
pushdown(u);
while (tr[u].l) {
u = tr[u].l;
pushdown(u);
}
return u;
}

int access(int u) {
int lst = 0;

while (u) {
auto t = split(findRoot(u));
tr[findLeft(lst)].pre = 0;
lst = merge(t.first, lst);
tr[findLeft(t.second)].pre = u;
u = tr[findLeft(lst)].pre;
}

return lst;
}

void makeRoot(int u) {
tr[access(u)].rev ^= 1;
}

public:
int getRoot(int u) {
return findLeft(access(u));
}

void link(int x, int y) {
makeRoot(x);
tr[x].pre = y;
}

void cut(int x, int y) {
makeRoot(x);
access(y);
access(x);
tr[y].pre = 0;
}

int query(int x, int y) {
makeRoot(x);
access(y);

auto t = split(findRoot(y));
int res = tr[t.first].sum;
merge(t.first, t.second);

return res;
}

void change(int u, int val) {
makeRoot(u);
auto t = split(findRoot(u));
tr[u].val = val;
merge(t.first, t.second);
}

void set(int u, int val) {
tr[u].sum = tr[u].val = val;
}
} lct;

int n, m;

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

cin >> n >> m;

for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
cin >> x;

lct.set(i, x);
}

while (m--) {
int op, x, y;

cin >> op >> x >> y;

switch (op) {
case 0: {
cout << lct.query(x, y) << endl;

break;
}
case 1: {
if (lct.getRoot(x) != lct.getRoot(y)) {
lct.link(x, y);
}

break;
}
case 2: {
lct.cut(x, y);

break;
}
case 3: {
lct.change(x, y);

break;
}
}
}

return 0;
}

#参考资料

  1. 平衡树 & LCT,石家庄市第二中学信息学奥赛集训(线下授课),张闰清,2022 年 7 月 12 日。