Link-Cut Tree 学习笔记

Link-Cut Tree 是一种用来解决动态树问题的数据结构。

它采用类似树链剖分的轻重边路径剖分，把树边分为实边和虚边，并用 Splay 来维护每一条实路径。Link-Cut Tree 的基本操作复杂度为均摊 $O(\log n)$ ，但常数因子较大，一般效率会低于树链剖分。

主要操作

Splay 相关

LCT 中的 Splay 与原版 Splay 之间存在一定差别。

isRoot 函数

判断节点 $u$ 是否为其所属 Splay 的根。

bool isRoot(const size_t &u) {
    return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}

旋转（rotate）操作

判断根不能以父亲节点是否存在为依据，而应该使用上文中的 isRoot() 函数。

 void rotate(size_t u) {
     size_t p = tr[u].f;
     unsigned x = relation(u);

-    if (tr[p].f) {
+    if (!isRoot(p)) {
         tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
     }
     tr[u].f = tr[p].f;

void rotate(size_t u) {
    size_t p = tr[u].f;
    unsigned x = relation(u);

    if (!isRoot(p)) {
        tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
    }
    tr[u].f = tr[p].f;

    if (tr[u].child(x ^ 1)) {
        tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
    }
    tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

    tr[u].child(x ^ 1) = p;
    tr[p].f = u;

    pushup(p);
    pushup(u);
}

Splay 操作

要先自顶到下将路径上的所有节点 pushdown 后再进行 Splay 操作。

-void splay(size_t u, size_t t = 0) {
+void splay(size_t u) {
+    std::stack<size_t> st;

+    size_t cur = u;
+    st.push(cur);
+    while (!isRoot(cur)) {
+        st.push(tr[cur].f);
+        cur = tr[cur].f;
+    }

+    while (!st.empty()) {
+        pushdown(st.top());
+        st.pop();
+    }

-    while (tr[u].f != t) {
-        if (tr[tr[u].f].f == t) {
+    while (!isRoot(u)) {
+        if (isRoot(tr[u].f)) {
             rotate(u);
         } else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
             rotate(tr[u].f);
           rotate(u);
         } else {
             rotate(u);
             rotate(u);
         }
     }
-
-    if (!t) root = u;
 }

void splay(size_t u) {
    std::stack<size_t> st;

    size_t cur = u;
    st.push(cur);
    while (!isRoot(cur)) {
        st.push(tr[cur].f);
        cur = tr[cur].f;
    }

    while (!st.empty()) {
        pushdown(st.top());
        st.pop();
    }

    while (!isRoot(u)) {
        if (isRoot(tr[u].f)) {
            rotate(u);
        } else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
            rotate(tr[u].f);
            rotate(u);
        } else {
            rotate(u);
            rotate(u);
        }
    }
}

Access 操作

该操作意为「访问」节点 $u$ ，被访问过的节点会有一条实路径连接到根节点，且该节点在这条路径的头部（最下端）。

void access(size_t u) {
    for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
        splay(u);
        tr[u].r = f;
        pushup(u);
    }
}

makeRoot 操作

使节点 $u$ 成为原树的根。

void makeRoot(const size_t &u) {
    access(u);
    splay(u);
    tr[u].rev = !tr[u].rev;
}

Split 操作

将 $x \sim y$ 的路径单独抽成一棵 Splay。

void split(const size_t &x, const size_t &y) {
    makeRoot(x);
    access(y);
    splay(y);
}

Link 操作

在 $x$ 节点和 $y$ 节点之间连一条边，使其成为同一棵树内的两个节点。

void link(const int &x, const int &y) {
    makeRoot(x);

    if (findRoot(y) != x) {
        tr[x].f = y;
    }
}

Cut 操作

切断 $x$ 和 $y$ 之间的路径。

void cut(int x, int y) {
    split(x, y);

    if (tr[y].l == x) {  // 只有路径存在时才删除
        tr[y].l = 0;
        tr[x].f = 0;
    }
}

代码

#include <iostream>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5;

class LinkCutTree {
  private:
    struct node {
        size_t l, r, f;
        unsigned v, s;
        bool rev;

        node()
            : l(0), r(0), f(0), s(0), v(0), rev(false) {}

        node(unsigned _v, size_t _f)
            : l(0), r(0), f(_f), s(_v), v(_v), rev(false) {}

        size_t &child(unsigned x) {
            return !x ? l : r;
        }
    } tr[N];

    inline void pushup(size_t u) {
        tr[u].s = tr[tr[u].l].s ^ tr[u].v ^ tr[tr[u].r].s;
    }

    inline void pushdown(const size_t &u) {
        if (!tr[u].rev) return;

        std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
        tr[tr[u].l].rev = !tr[tr[u].l].rev;
        tr[tr[u].r].rev = !tr[tr[u].r].rev;
        tr[u].rev = false;
    }

    unsigned relation(const size_t &u) {
        return u == tr[tr[u].f].l ? 0 : 1;
    }

    bool isRoot(const size_t &u) {
        return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
    }

    void rotate(size_t u) {
        size_t p = tr[u].f;
        unsigned x = relation(u);

        if (!isRoot(p)) {
            tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
        }
        tr[u].f = tr[p].f;

        if (tr[u].child(x ^ 1)) {
            tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
        }
        tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);

        tr[u].child(x ^ 1) = p;
        tr[p].f = u;

        pushup(p);
        pushup(u);
    }

    void splay(size_t u) {
        std::stack<size_t> st;

        size_t cur = u;
        st.push(cur);
        while (!isRoot(cur)) {
            st.push(tr[cur].f);
            cur = tr[cur].f;
        }

        while (!st.empty()) {
            pushdown(st.top());
            st.pop();
        }

        while (!isRoot(u)) {
            if (isRoot(tr[u].f)) {
                rotate(u);
            } else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
                rotate(tr[u].f);
                rotate(u);
            } else {
                rotate(u);
                rotate(u);
            }
        }
    }

    void access(size_t u) {
        for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
            splay(u);
            tr[u].r = f;
            pushup(u);
        }
    }

    void makeRoot(const size_t &u) {
        access(u);
        splay(u);
        tr[u].rev = !tr[u].rev;
    }

    size_t findRoot(size_t u) {
        access(u);
        splay(u);

        while (tr[u].l) {
            u = tr[u].l;
        }

        return u;
    }

    void split(const size_t &x, const size_t &y) {
        makeRoot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }

  public:
    void set(int p, int v) {
        tr[p].s = tr[p].v = v;
    }

    unsigned query(int x, int y) {
        split(x, y);

        return tr[y].s;
    }

    void link(const int &x, const int &y) {
        makeRoot(x);

        if (findRoot(y) != x) {
            tr[x].f = y;
        }
    }

    void cut(int x, int y) {
        split(x, y);

        if (tr[y].l == x) {
            tr[y].l = 0;
            tr[x].f = 0;
        }
    }

    void change(int p, int v) {
        access(p);
        splay(p);
        tr[p].v = v;
        pushup(p);
    }
} lct;

int n, m;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        cin >> x;

        lct.set(i, x);
    }

    while (m--) {
        int op, x, y;

        cin >> op >> x >> y;

        switch (op) {
            case 0: {
                cout << lct.query(x, y) << endl;

                break;
            }
            case 1: {
                lct.link(x, y);

                break;
            }
            case 2: {
                lct.cut(x, y);

                break;
            }
            case 3: {
                lct.change(x, y);

                break;
            }
        }
    }

    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <stack>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1e5 + 5;

// Link-Cut Tree
class LinkCutTree {
  private:
    std::stack<bool> st;

    struct node {
        int p,  // 父亲节点
            l,  // 左儿子
            r;  // 右儿子
        int pre;
        int val,   // 节点值
            sum;   // 异或和
        int key;   // 权值
        bool rev;  // 翻转标记

        node()
            : p(0), l(0), r(0), pre(0), val(0), sum(0), key(rand()), rev(false) {}
    } tr[N];

    void pushup(int u) {
        // 计算异或和
        tr[u].sum = tr[tr[u].l].sum ^ tr[u].val ^ tr[tr[u].r].sum;

        // 标记父亲节点
        if (tr[u].l) tr[tr[u].l].p = u;
        if (tr[u].r) tr[tr[u].r].p = u;
    }

    void pushdown(int u) {
        if (!tr[u].rev) return;

        tr[u].rev = false;
        std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
        tr[tr[u].l].rev ^= 1;
        tr[tr[u].r].rev ^= 1;
    }

    std::pair<int, int> split(int u) {
        if (st.empty()) {
            pushdown(u);
            auto t = std::make_pair(u, tr[u].r);
            tr[u].r = 0;
            pushup(u);

            return t;
        }

        bool d = st.top() ^ tr[u].rev;
        st.pop();

        pushdown(u);

        if (d) {
            auto t = split(tr[u].l);
            tr[u].l = t.second;
            pushup(u);

            return std::make_pair(t.first, u);
        }

        auto t = split(tr[u].r);
        tr[u].r = t.first;
        pushup(u);

        return std::make_pair(u, t.second);
    }

    // 合并
    int merge(int x, int y) {
        if (!x || !y) return x | y;

        if (tr[x].key < tr[y].key) {
            pushdown(x);
            tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
            pushup(x);
            return x;
        }

        pushdown(y);
        tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
        pushup(y);
        return y;
    }

    // 是否是根节点
    bool isRoot(int u) {
        return !tr[u].p || (tr[tr[u].p].l != u && tr[tr[u].p].r != u);
    }

    // 查找根节点
    int findRoot(int u) {
        while (!st.empty()) st.pop();
        while (!isRoot(u)) {
            // pushdown(u);
            st.push(tr[tr[u].p].l == u);
            u = tr[u].p;
        }
        return u;
    }

    int findLeft(int u) {
        u = findRoot(u);
        pushdown(u);
        while (tr[u].l) {
            u = tr[u].l;
            pushdown(u);
        }
        return u;
    }

    int access(int u) {
        int lst = 0;

        while (u) {
            auto t = split(findRoot(u));
            tr[findLeft(lst)].pre = 0;
            lst = merge(t.first, lst);
            tr[findLeft(t.second)].pre = u;
            u = tr[findLeft(lst)].pre;
        }

        return lst;
    }

    void makeRoot(int u) {
        tr[access(u)].rev ^= 1;
    }

  public:
    int getRoot(int u) {
        return findLeft(access(u));
    }

    void link(int x, int y) {
        makeRoot(x);
        tr[x].pre = y;
    }

    void cut(int x, int y) {
        makeRoot(x);
        access(y);
        access(x);
        tr[y].pre = 0;
    }

    int query(int x, int y) {
        makeRoot(x);
        access(y);

        auto t = split(findRoot(y));
        int res = tr[t.first].sum;
        merge(t.first, t.second);

        return res;
    }

    void change(int u, int val) {
        makeRoot(u);
        auto t = split(findRoot(u));
        tr[u].val = val;
        merge(t.first, t.second);
    }

    void set(int u, int val) {
        tr[u].sum = tr[u].val = val;
    }
} lct;

int n, m;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        cin >> x;

        lct.set(i, x);
    }

    while (m--) {
        int op, x, y;

        cin >> op >> x >> y;

        switch (op) {
            case 0: {
                cout << lct.query(x, y) << endl;

                break;
            }
            case 1: {
                if (lct.getRoot(x) != lct.getRoot(y)) {
                    lct.link(x, y);
                }

                break;
            }
            case 2: {
                lct.cut(x, y);

                break;
            }
            case 3: {
                lct.change(x, y);

                break;
            }
        }
    }

    return 0;
}

参考资料

平衡树 & LCT，石家庄市第二中学信息学奥赛集训（线下授课），张闰清，2022 年 7 月 12 日。