检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。
Link-Cut Tree 是一种用来解决动态树问题的数据结构。
它采用类似树链剖分的轻重边路径剖分,把树边分为实边和虚边,并用 Splay 来维护每一条实路径。Link-Cut Tree 的基本操作复杂度为均摊 ,但常数因子较大,一般效率会低于树链剖分。
主要操作
Splay 相关
LCT 中的 Splay 与原版 Splay 之间存在一定差别。
isRoot 函数
判断节点 是否为其所属 Splay 的根。
bool isRoot(const size_t &u) {
return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}
旋转(rotate)操作
判断根不能以父亲节点是否存在为依据,而应该使用上文中的 isRoot()
函数。
void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);
- if (tr[p].f) {
+ if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;
void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);
if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;
if (tr[u].child(x ^ 1)) {
tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
}
tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);
tr[u].child(x ^ 1) = p;
tr[p].f = u;
pushup(p);
pushup(u);
}
Splay 操作
要先自顶到下将路径上的所有节点 pushdown 后再进行 Splay 操作。
-void splay(size_t u, size_t t = 0) {
+void splay(size_t u) {
+ std::stack<size_t> st;
+ size_t cur = u;
+ st.push(cur);
+ while (!isRoot(cur)) {
+ st.push(tr[cur].f);
+ cur = tr[cur].f;
+ }
+ while (!st.empty()) {
+ pushdown(st.top());
+ st.pop();
+ }
- while (tr[u].f != t) {
- if (tr[tr[u].f].f == t) {
+ while (!isRoot(u)) {
+ if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
-
- if (!t) root = u;
}
void splay(size_t u) {
std::stack<size_t> st;
size_t cur = u;
st.push(cur);
while (!isRoot(cur)) {
st.push(tr[cur].f);
cur = tr[cur].f;
}
while (!st.empty()) {
pushdown(st.top());
st.pop();
}
while (!isRoot(u)) {
if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
}
Access 操作
该操作意为「访问」节点 ,被访问过的节点会有一条实路径连接到根节点,且该节点在这条路径的头部(最下端)。
void access(size_t u) {
for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
splay(u);
tr[u].r = f;
pushup(u);
}
}
makeRoot 操作
使节点 成为原树的根。
void makeRoot(const size_t &u) {
access(u);
splay(u);
tr[u].rev = !tr[u].rev;
}
Split 操作
将 的路径单独抽成一棵 Splay。
void split(const size_t &x, const size_t &y) {
makeRoot(x);
access(y);
splay(y);
}
Link 操作
在 节点和 节点之间连一条边,使其成为同一棵树内的两个节点。
void link(const int &x, const int &y) {
makeRoot(x);
if (findRoot(y) != x) {
tr[x].f = y;
}
}
Cut 操作
切断 和 之间的路径。
void cut(int x, int y) {
split(x, y);
if (tr[y].l == x) { // 只有路径存在时才删除
tr[y].l = 0;
tr[x].f = 0;
}
}
代码
#include <iostream>
#include <stack>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
const int N = 1e5 + 5;
class LinkCutTree {
private:
struct node {
size_t l, r, f;
unsigned v, s;
bool rev;
node()
: l(0), r(0), f(0), s(0), v(0), rev(false) {}
node(unsigned _v, size_t _f)
: l(0), r(0), f(_f), s(_v), v(_v), rev(false) {}
size_t &child(unsigned x) {
return !x ? l : r;
}
} tr[N];
inline void pushup(size_t u) {
tr[u].s = tr[tr[u].l].s ^ tr[u].v ^ tr[tr[u].r].s;
}
inline void pushdown(const size_t &u) {
if (!tr[u].rev) return;
std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[tr[u].l].rev = !tr[tr[u].l].rev;
tr[tr[u].r].rev = !tr[tr[u].r].rev;
tr[u].rev = false;
}
unsigned relation(const size_t &u) {
return u == tr[tr[u].f].l ? 0 : 1;
}
bool isRoot(const size_t &u) {
return tr[tr[u].f].l != u && tr[tr[u].f].r != u;
}
void rotate(size_t u) {
size_t p = tr[u].f;
unsigned x = relation(u);
if (!isRoot(p)) {
tr[tr[p].f].child(relation(p)) = u;
}
tr[u].f = tr[p].f;
if (tr[u].child(x ^ 1)) {
tr[tr[u].child(x ^ 1)].f = p;
}
tr[p].child(x) = tr[u].child(x ^ 1);
tr[u].child(x ^ 1) = p;
tr[p].f = u;
pushup(p);
pushup(u);
}
void splay(size_t u) {
std::stack<size_t> st;
size_t cur = u;
st.push(cur);
while (!isRoot(cur)) {
st.push(tr[cur].f);
cur = tr[cur].f;
}
while (!st.empty()) {
pushdown(st.top());
st.pop();
}
while (!isRoot(u)) {
if (isRoot(tr[u].f)) {
rotate(u);
} else if (relation(u) == relation(tr[u].f)) {
rotate(tr[u].f);
rotate(u);
} else {
rotate(u);
rotate(u);
}
}
}
void access(size_t u) {
for (size_t f = 0; u; u = tr[f = u].f) {
splay(u);
tr[u].r = f;
pushup(u);
}
}
void makeRoot(const size_t &u) {
access(u);
splay(u);
tr[u].rev = !tr[u].rev;
}
size_t findRoot(size_t u) {
access(u);
splay(u);
while (tr[u].l) {
u = tr[u].l;
}
return u;
}
void split(const size_t &x, const size_t &y) {
makeRoot(x);
access(y);
splay(y);
}
public:
void set(int p, int v) {
tr[p].s = tr[p].v = v;
}
unsigned query(int x, int y) {
split(x, y);
return tr[y].s;
}
void link(const int &x, const int &y) {
makeRoot(x);
if (findRoot(y) != x) {
tr[x].f = y;
}
}
void cut(int x, int y) {
split(x, y);
if (tr[y].l == x) {
tr[y].l = 0;
tr[x].f = 0;
}
}
void change(int p, int v) {
access(p);
splay(p);
tr[p].v = v;
pushup(p);
}
} lct;
int n, m;
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
cin >> x;
lct.set(i, x);
}
while (m--) {
int op, x, y;
cin >> op >> x >> y;
switch (op) {
case 0: {
cout << lct.query(x, y) << endl;
break;
}
case 1: {
lct.link(x, y);
break;
}
case 2: {
lct.cut(x, y);
break;
}
case 3: {
lct.change(x, y);
break;
}
}
}
return 0;
}
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <stack>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
const int N = 1e5 + 5;
// Link-Cut Tree
class LinkCutTree {
private:
std::stack<bool> st;
struct node {
int p, // 父亲节点
l, // 左儿子
r; // 右儿子
int pre;
int val, // 节点值
sum; // 异或和
int key; // 权值
bool rev; // 翻转标记
node()
: p(0), l(0), r(0), pre(0), val(0), sum(0), key(rand()), rev(false) {}
} tr[N];
void pushup(int u) {
// 计算异或和
tr[u].sum = tr[tr[u].l].sum ^ tr[u].val ^ tr[tr[u].r].sum;
// 标记父亲节点
if (tr[u].l) tr[tr[u].l].p = u;
if (tr[u].r) tr[tr[u].r].p = u;
}
void pushdown(int u) {
if (!tr[u].rev) return;
tr[u].rev = false;
std::swap(tr[u].l, tr[u].r);
tr[tr[u].l].rev ^= 1;
tr[tr[u].r].rev ^= 1;
}
std::pair<int, int> split(int u) {
if (st.empty()) {
pushdown(u);
auto t = std::make_pair(u, tr[u].r);
tr[u].r = 0;
pushup(u);
return t;
}
bool d = st.top() ^ tr[u].rev;
st.pop();
pushdown(u);
if (d) {
auto t = split(tr[u].l);
tr[u].l = t.second;
pushup(u);
return std::make_pair(t.first, u);
}
auto t = split(tr[u].r);
tr[u].r = t.first;
pushup(u);
return std::make_pair(u, t.second);
}
// 合并
int merge(int x, int y) {
if (!x || !y) return x | y;
if (tr[x].key < tr[y].key) {
pushdown(x);
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
pushdown(y);
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
// 是否是根节点
bool isRoot(int u) {
return !tr[u].p || (tr[tr[u].p].l != u && tr[tr[u].p].r != u);
}
// 查找根节点
int findRoot(int u) {
while (!st.empty()) st.pop();
while (!isRoot(u)) {
// pushdown(u);
st.push(tr[tr[u].p].l == u);
u = tr[u].p;
}
return u;
}
int findLeft(int u) {
u = findRoot(u);
pushdown(u);
while (tr[u].l) {
u = tr[u].l;
pushdown(u);
}
return u;
}
int access(int u) {
int lst = 0;
while (u) {
auto t = split(findRoot(u));
tr[findLeft(lst)].pre = 0;
lst = merge(t.first, lst);
tr[findLeft(t.second)].pre = u;
u = tr[findLeft(lst)].pre;
}
return lst;
}
void makeRoot(int u) {
tr[access(u)].rev ^= 1;
}
public:
int getRoot(int u) {
return findLeft(access(u));
}
void link(int x, int y) {
makeRoot(x);
tr[x].pre = y;
}
void cut(int x, int y) {
makeRoot(x);
access(y);
access(x);
tr[y].pre = 0;
}
int query(int x, int y) {
makeRoot(x);
access(y);
auto t = split(findRoot(y));
int res = tr[t.first].sum;
merge(t.first, t.second);
return res;
}
void change(int u, int val) {
makeRoot(u);
auto t = split(findRoot(u));
tr[u].val = val;
merge(t.first, t.second);
}
void set(int u, int val) {
tr[u].sum = tr[u].val = val;
}
} lct;
int n, m;
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
cin >> x;
lct.set(i, x);
}
while (m--) {
int op, x, y;
cin >> op >> x >> y;
switch (op) {
case 0: {
cout << lct.query(x, y) << endl;
break;
}
case 1: {
if (lct.getRoot(x) != lct.getRoot(y)) {
lct.link(x, y);
}
break;
}
case 2: {
lct.cut(x, y);
break;
}
case 3: {
lct.change(x, y);
break;
}
}
}
return 0;
}
参考资料
- 平衡树 & LCT,石家庄市第二中学信息学奥赛集训(线下授课),张闰清,2022 年 7 月 12 日。