洛谷 - P1004 方格取数

题面

题目描述

设有 $N \times N$ 的方格图 $(N \le 9)$，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 $0$。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                        B

某人从图的左上角的 $A$ 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 $B$ 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$）。 此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数 $N$（表示 $N \times N$ 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 $0$ 表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示 $2$ 条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

样例输入 #1

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

样例输出 #1

67

思路

本题是一道四维动态规划模板题。

使用数组的第一维、第二维记录第一次走的路径，第三维、第四维记录第二次走的路径，容易推出转移方程：

$$f_{i, j, k, l} = \max\{f_{i-1, j, k-1, l},~f_{i-1, j, k, l-1},~f_{i, j-1, k-1, l},~f_{i, j-1, k, l-1}\} + w_{i, j} + w_{k, l}$$

当 $i = k$ 且 $j = l$ 时，需要减去重复的数字： $f_{i, j, k, l} = f_{i, j, k, l} - w_{i, j}$ 。

最后 $f_{n, n, n, n}$ 即为所求。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, r, c, k, w[15][15], f[15][15][15][15];

int main() {
    cin >> n;
    while (cin >> r >> c >> k, r && c && k) {
        w[r][c] = k;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                for (int l = 1; l <= n; l++) {
                    f[i][j][k][l] = max({f[i - 1][j][k - 1][l], f[i - 1][j][k][l - 1], f[i][j - 1][k - 1][l], f[i][j - 1][k][l - 1]}) + w[i][j] + w[k][l];
                    if (i == k && j == l) f[i][j][k][l] -= w[i][j];
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n][n][n][n] << endl;
    return 0;
}