洛谷 - P1516 青蛙的约会

#题面

#题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B，并且规定纬度线上东经 $0$ 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 $1$ 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 $x$，青蛙 B 的出发点坐标是 $y$。青蛙 A 一次能跳 $m$ 米，青蛙 B 一次能跳 $n$ 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 $L$ 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

#输入格式

输入只包括一行五个整数 $x, y, m, n, L$。

#输出格式

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible。

#输入输出样例

样例输入 #1

1 2 3 4 5

样例输出 #1

4

#数据范围与约定

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le x \ne y \le 2 \times 10^9$，$1 \le m, n \le 2 \times 10^9$，$1 \le L \le 2.1 \times 10^9$。

#思路

设 $k \in \N$ 表示走了多少天，有方程如下：

$$\tag{1} x + km \equiv y + kn ~ (\bmod L)$$

设 $p \in \N^*$ 表示青蛙 A 跳的圈数和青蛙 B 的圈数之差。由 $(1)$ 式可得：

$$\tag{2} (x + km) - (y + kn) = pL$$

可以转化为：

$$\tag{3} x - y + k(m - n) = pL$$

移项，得：

$$\tag{4} k(m - n) - pL = -(x - y)$$

设 $c = x - y$，$b = n - m$（此处有变号），可得：

$$\tag{5} kb + pL = c$$

使 $(5)$ 成立的最小的 $c$ 为 $\gcd(b, l)$，所以当 $\gcd(b, l) ~|~ c$ 时本题有解，求出 $(5)$ 中 $k$ 的最小值即可。

#代码

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#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

long long x, y, n, m, l;

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    long long g = exgcd(b, a % b, x, y);
    long long t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return g;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> x >> y >> m >> n >> l;

    long long b = n - m,
              c = x - y,
              xx, yy;

    if (b < 0) {
        b = -b;
        c = -c;
    }

    long long g = exgcd(b, l, xx, yy);

    if (c % g) {
        cout << "Impossible" << endl;
    } else {
        cout << (c / g * xx % (l / g) + (l / g)) % (l / g) << endl;
    }

    return 0;
}