Skip to content

洛谷 - P1516 青蛙的约会

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

题面

题目描述

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B,并且规定纬度线上东经 00 度处为原点,由东往西为正方向,单位长度 11 米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 xx,青蛙 B 的出发点坐标是 yy。青蛙 A 一次能跳 mm 米,青蛙 B 一次能跳 nn 米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 LL 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行五个整数 x,y,m,n,Lx, y, m, n, L

输出格式

输出碰面所需要的天数,如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible

输入输出样例

样例输入 #1

1 2 3 4 5

样例输出 #1

4

数据范围与约定

对于 100%100\% 的数据,1xy2×1091 \le x \ne y \le 2 \times 10^91m,n2×1091 \le m, n \le 2 \times 10^91L2.1×1091 \le L \le 2.1 \times 10^9

思路

kNk \in \N 表示走了多少天,有方程如下:

x+kmy+kn ( mod L)(1)\tag{1} x + km \equiv y + kn ~ (\bmod L)

pNp \in \N^* 表示青蛙 A 跳的圈数和青蛙 B 的圈数之差。由 (1)(1) 式可得:

(x+km)(y+kn)=pL(2)\tag{2} (x + km) - (y + kn) = pL

可以转化为:

xy+k(mn)=pL(3)\tag{3} x - y + k(m - n) = pL

移项,得:

k(mn)pL=(xy)(4)\tag{4} k(m - n) - pL = -(x - y)

c=xyc = x - yb=nmb = n - m(此处有变号),可得:

kb+pL=c(5)\tag{5} kb + pL = c

使 (5)(5) 成立的最小的 ccgcd(b,l)\gcd(b, l),所以当 gcd(b,l) c\gcd(b, l) ~|~ c 时本题有解,求出 (5)(5)kk 的最小值即可。

代码

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

long long x, y, n, m, l;

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    long long g = exgcd(b, a % b, x, y);
    long long t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return g;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> x >> y >> m >> n >> l;

    long long b = n - m,
              c = x - y,
              xx, yy;

    if (b < 0) {
        b = -b;
        c = -c;
    }

    long long g = exgcd(b, l, xx, yy);

    if (c % g) {
        cout << "Impossible" << endl;
    } else {
        cout << (c / g * xx % (l / g) + (l / g)) % (l / g) << endl;
    }

    return 0;
}