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题面
题目描述
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的 个山洞。这些山洞顺时针编号为 。岛上住着 个野人,一开始依次住在山洞 中,以后每年,第 个野人会沿顺时针向前走 个洞住下来。
每个野人 有一个寿命值 ,即生存的年数。
下面四幅图描述了一个有 个山洞,住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为 ;每年要走过的洞穴数依次为 ;寿命值依次为 。
奇怪的是,虽然野人有很多,但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中,使得小岛一直保持和平与宁静,这让科学家们很是惊奇。他们想知道,至少有多少个山洞,才能维持岛上的和平呢?
输入格式
第 行为一个整数 ,即野人的数目。
第 行到第 每行为三个整数 ,表示每个野人所住的初始洞穴编号,每年走过的洞穴数及寿命值。
输出格式
仅包含一个数 ,即最少可能的山洞数。输入数据保证有解,且 不大于 。
输入输出样例
样例输入 #1
3
1 3 4
2 7 3
3 2 1
样例输出 #1
6
数据范围与约定
对于 的数据,,,,最终答案 。
思路
当 且 时,第 个野人和第 个野人在同一个山洞中当且仅当情况如下:
那么只需要使其在 范围内无解即可维持岛上的和平。
移项,有:
那么可以使用扩展欧几里得算法求出 式的解:
再观察数据范围,发现答案 ,那么可以考虑在 区间内枚举答案,复杂度为 ,可以通过本题。
题外话:今天下午打模拟赛的时候这道题的 式推错了没切掉,真是可惜啊。
注:本题答案不具有单调性,不能二分。
代码
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <tuple>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
const int N = 20;
int n, max, ans;
std::tuple<int, int, int> a[N];
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int g = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return g;
}
bool check(int k) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
int c1, p1, l1, c2, p2, l2;
std::tie(c1, p1, l1) = a[i];
std::tie(c2, p2, l2) = a[j];
int a = p1 - p2,
b = k,
c = c2 - c1;
int x, y,
g = exgcd(a, b, x, y);
if (c % g) continue;
// 此处 g 可能是负数,因此需要取绝对值
a /= g, b = std::abs(b / g), c /= g;
x = (x * c % b + b) % b;
if (x <= std::min(l1, l2)) return false;
}
}
return true;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n;
for (int i = 1, c, p, l; i <= n; i++) {
cin >> std::get<0>(a[i]) >> std::get<1>(a[i]) >> std::get<2>(a[i]);
max = std::max(max, std::get<0>(a[i]));
}
for (int i = max; i <= 1000000; i++) {
if (check(i)) {
cout << i << endl;
exit(0);
}
}
return 0;
}
感谢 JohnSonloy 指出本文中的错误,已修正。