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洛谷 - P2891 Dining

题解约 1.1 千字
# 洛谷 # 图论 # 网络流 # 最大流 # USACO # 2007
检测到 KaTeX 加载失败，可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

本文中所给出的题面为原题面的中文翻译，并非原始题面。翻译如有错误之处，请联系指出。

#题目描述

奶牛就是这么挑食。每头奶牛都有自己喜欢的食物和饮料，她不会吃她不喜欢的食物和或者喝她不喜欢的饮料。

农夫约翰为他的奶牛做了美味的饭菜，但他忘记根据她们的喜好检查他的菜单。虽然他可能无法让每头奶牛都吃饱，但他想让尽可能多的奶牛吃一顿符合她们喜好的饭。

农夫约翰烹制了 FF 种食物并准备了 DD 种饮料。他的 NN 头奶牛中的每一头都给出了她喜欢吃的食物种类和饮料种类。农夫约翰必须为每头奶牛分配一种食物类型和一种饮料类型，以最大限度地增加同时获得这两种食物的奶牛数量。

每道菜或饮料只能由一头牛食用（即一旦将种类编号为 22 的食物分配给一头牛，就不能再将这种食物分配给其他牛）。

#输入格式

第一行包含三个以空格分隔的整数 N,F,DN, F, D。

接下来有 NN 行数据。第 ii 行以两个整数 Fi,DiF_i, D_i 开头，即奶牛喜欢吃的食物种类的数量和喜欢喝的饮料种类的数量。之后有 FiF_i 个整数给出了第 ii 头奶牛喜欢吃的菜的编号，有 DiD_i 个整数给出了第 ii 头奶牛喜欢喝的饮料种类的编号。

#输出格式

一行一个整数，表示可以享受到自己喜欢的食物和饮料的奶牛的最大数量。

#输入输出样例

输入样例 #1

4 3 3
2 2 1 2 3 1
2 2 2 3 1 2
2 2 1 3 1 2
2 1 1 3 3

输出样例 #1

3

#数据范围与提示

对于 100%100\% 的数据，1≤N,F,D≤1001 \leq N, F, D \leq 100。

#思路

本题的难点主要在于建图。

一种很容易想到的做法是建立一个超级源点连接食物，食物连牛，牛连饮料，饮料连接超级汇点，然后再跑一遍最大流。但这个算法是错误的，它可能会重复选择同一只奶牛。

Hack 数据

输入数据

1 2 2
2 2 1 2 1 2

错误答案

2

正确答案

1

那么可以运用拆点的思想，将一只奶牛拆成两个点，食物连入点，出点连饮料，就避免了重复选择的问题。

之后再跑网络流求出答案即可。

#代码

C++
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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 1005,
          M = 10005;

int n, f, d, flow, ans;

// Graph
int idx, head[N], edge[M << 1], ver[M << 1], next[M << 1];

void add(int u, int v, int w) {
    next[idx] = head[u];
    ver[idx] = v;
    edge[idx] = w;
    head[u] = idx++;
}

// Dinic
int dist[N], cur[N];

bool bfs() {
    memset(dist, 0x00, sizeof(dist));
    std::queue<int> q;
    q.push(0);
    dist[0] = 1;
    cur[0] = head[0];

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();

        for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
            int v = ver[i],
                w = edge[i];
            if (w && !dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + 1;
                cur[v] = head[v];
                if (v == n) return true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return false;
}

int dinic(int u, int limit) {
    if (u == n) return limit;

    int flow = 0;
    for (int &i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
        int v = ver[i],
            w = edge[i];
        if (dist[v] == dist[u] + 1 && w) {
            int k = dinic(v, std::min(w, limit - flow));
            if (!k) dist[v] = 0;
            edge[i] -= k;
            edge[i ^ 1] += k;
            flow += k;
        }
    }
    return flow;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    memset(head, 0xff, sizeof(head));
    cin >> n >> f >> d;
    for (int i = 1; i <= f; i++) {
        add(0, i, 1);
        add(i, 0, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int ff, dd;
        cin >> ff >> dd;
        for (int j = 1; j <= ff; j++) {
            int x;
            cin >> x;
            add(x, f + d + i, 1);
            add(f + d + i, x, 0);
        }
        add(f + d + i, f + d + n + i, 1);
        add(f + d + n + i, f + d + i, 0);
        for (int j = 1; j <= dd; j++) {
            int x;
            cin >> x;
            add(f + d + n + i, f + x, 1);
            add(f + x, f + d + n + i, 0);
        }
    }
    n = f + d + n * 2 + 1;
    for (int i = 1; i <= d; i++) {
        add(f + i, n, 1);
    }
    while (bfs()) {
        while (flow = dinic(0, 0x3f3f3f3f)) ans += flow;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}