最大流问题是求解图上从源点流向汇点的最大流量的问题。
求解最大流问题主要有两种算法:Edmonds-Karp 动能算法(EK 算法)和 Dinic 算法,其中后者在算法竞赛中更为常用。
基本概念
流网络
流网络 (Flow Network) 是一个有向图,图中每条边 有一个非负的 容量值 。而且,如果边集合 包含一条边 ,则图中不存在反方向的边 。为了方便起见,如果 ,则定义 。
在流网络的所有节点中,有两个特殊的点:源点 和汇点 。
流
设 定义在二元组 上的实数函数且满足
- 容量限制(Capacity Constraints):对于每条边,流经该边的流量不得超过该边的容量,即 ;
- 流量守恒(Flow Conservation):从源点流出的流量等于汇点流入的流量,即 ;
那么 称为网络 的流函数。
对于 , 称为边的 流量, 称为边的 剩余容量(Residual Capacity),可以记作 。整个网络的流量为 ,即从源点发出的所有流量之和。为了方便起见,如果 ,则定义 。
一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述两个性质。
流函数的完整定义如下:
残量网络
对于流函数 ,残量网络 (Residual Network)是网络 中所有节点和剩余容量大于 的边构成的子图,即
注意,剩余容量大于 的边可能不在原图 中(根据容量、剩余容量的定义以及流函数的斜对称性得到)。可以理解为,残量网络中包括了那些还剩了流量空间的边构成的图,也包括虚边(即反向边)。
增广路
在原图 中若存在一条从源点到汇点的路径上所有边的剩余容量都大于 ,则这条路径被称为增广路(Augmenting Path)。
Edmonds-Karp 算法
Edmonds-Karp 算法的基本思路很简单:不断地使用 BFS 去寻找增广路,直到网络上不存在增广路为止。
在每轮寻找增广路的过程中,Edmonds-Karp 算法只考虑所有 的边,用 BFS 找到任意一条从 到 的路径,同时计算出路径上各边的剩余容量的最小值 ,则网络的流量就可以增加 。
需要注意的是,当一条边的流量 时,根据斜对称性质,它的反向边流量 ,此时必定有 。故 Edmonds-Karp 算法在 BFS 时除了原图的边集 外,还应该考虑遍历 中每条边的反向边。
在实现时,只需要维护残量网络即可。当一条边 流过大小为 的流时,令 的剩余容量减小 , 的剩余流量增大 即可。
Edmonds-Karp 算法的时间复杂度为 。然而在实际运用中远远达不到这个上界,效率较高,可以处理 规模的网络。
来自 GitHub Copilot 的补全(未验证):然而在实际应用中,这个算法的时间复杂度可以降低到 ,因为在每轮 BFS 时,只需要更新 中的边的剩余容量,而不需要更新 中的节点。
代码
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <limits>
#include <queue>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
const int N = 1005,
M = 10005;
int n, m, s, t, ans;
// Graph
int idx, head[N], ver[M << 1], edge[M << 1], next[M << 1];
void add(int u, int v, int w) {
next[idx] = head[u];
ver[idx] = v;
edge[idx] = w;
head[u] = idx++;
}
// Edmonds-Karp
int d[N], pre[N];
bool vis[N];
bool bfs() {
memset(vis, 0x00, sizeof(vis));
std::queue<int> q;
q.push(s);
vis[s] = true;
d[s] = std::numeric_limits<int>::max();
while (!q.empty()) {
int x = q.front();
q.pop();
for (int i = head[x]; ~i; i = next[i]) {
if (edge[i]) {
int y = ver[i];
if (vis[y]) continue;
d[y] = std::min(d[x], edge[i]);
pre[y] = i; // 记录前驱
q.push(y);
vis[y] = true;
if (y == t) return true;
}
}
}
return false;
}
void update() { // 更新增广路及其反向边的剩余容量
int x = t;
while (x != s) {
int i = pre[x];
edge[i] -= d[t];
edge[i ^ 1] += d[t];
x = ver[i ^ 1];
}
ans += d[t];
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
memset(head, 0xff, sizeof(head));
cin >> n >> m >> s >> t;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
add(u, v, w);
add(v, u, 0);
}
while (bfs()) update();
cout << ans << endl;
return 0;
}
Dinic 算法
Edmonds-Karp 算法每轮可能会遍历整个残量网络,但只找出一条增广路,还有进一步优化的空间。
Dinic 算法不断重复以下步骤,直到在残量网络中 不能到达 :
- 在残量网络上 BFS 求出节点的层次,构造分层图。
- 在分层图上 DFS 求出增广路,在回溯时实时更新剩余容量。另外,每个点可以流向多条出边,同时还加入了若干剪枝(参考程序注释)。
Dinic 算法的时间复杂度为 。但在实际中远远达不到这个上界,一般能够处理 规模的网络,特别地,在求解稠密图上的最大流问题是效率要比前文提到的 Edmonds-Karp 算法更高。
Dinic 算法中的两个优化:
- 多路增广:每找到一条增广路时,若还有残余流量存在,那么可以再找出其他的增广路来利用这些残余流量。这样就可以在一次 DFS 中找出多条增广路,大大提高了算法的效率。
- 当前弧优化:如果一条边已经被增广过,那么该边就没有可能被增广第二次。那么,当下一次进行增广的时候,就可以不必再走那些已经被增广过的边。
代码
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
const int N = 205,
M = 5005;
int n, m, s, t, flow;
long long ans;
// Graph
int idx, head[N], edge[M << 1], ver[M << 1], next[M << 1];
void add(int u, int v, int w) {
next[idx] = head[u];
edge[idx] = w;
ver[idx] = v;
head[u] = idx++;
}
// Dinic
int d[N], cur[N];
bool bfs() {
memset(d, 0x00, sizeof(d));
std::queue<int> q;
d[s] = 1;
q.push(s);
cur[s] = head[s];
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {
int v = ver[i],
w = edge[i];
if (w && !d[v]) {
d[v] = d[u] + 1;
cur[v] = head[v];
if (v == t) return true;
q.push(v);
}
}
}
return false;
}
int dinic(int u, int limit) {
if (u == t) return limit;
int flow = 0;
for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = next[i]) {
cur[u] = i; // 当前弧优化
int v = ver[i],
w = edge[i];
if (w && d[v] == d[u] + 1) {
int k = dinic(v, std::min(edge[i], limit - flow));
if (!k) d[v] = 0; // 剪枝:去掉增广完毕的点
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
flow += k;
}
}
return flow;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
memset(head, 0xff, sizeof(head));
cin >> n >> m >> s >> t;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
add(u, v, w);
add(v, u, 0);
}
while (bfs()) {
while (flow = dinic(s, 0x3f3f3f3f)) ans += flow;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
参考资料
- 0x6A 网络流初步,《算法竞赛进阶指南》(ISBN 978-7-83009-313-6,河南电子音像出版社),李煜东,2019 年 5 月第 5 次修订版。
- 第 26 章 最大流,《算法导论》中译本(ISBN 978-7-111-40701-0,机械工业出版社),2013 年 1 月第三版。
- 1.1.1 网络流的基本概念,AcWing 算法进阶课,闫学灿,2020 年 7 月 25 日。
- 1.1.2 最大流,AcWing 算法进阶课,闫学灿,2020 年 7 月 31 日 ~ 2020 年 8 月 8 日。
- 网络流简介,图论,OI Wiki,2021 年 7 月 11 日。