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「NOIP2004」虫食算

题解约 1.7 千字
检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

所谓虫食算,就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了,需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子:

 43#9865#045
+  8468#6633
 44445509678

其中 # 号代表被虫子啃掉的数字。根据算式,我们很容易判断:第一行的两个数字分别是 5533,第二行的数字是 55

现在,我们对问题做两个限制:

首先,我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是 nn 进制加法,算式中三个数都有 nn 位,允许有前导的 00

其次,虫子把所有的数都啃光了,我们只知道哪些数字是相同的,我们将相同的数字用相同的字母表示,不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是 nn 进制的,我们就取英文字母表的前 nn 个大写字母来表示这个算式中的 00n1n - 1nn 个不同的数字:但是这 nn 个字母并不一定顺序地代表 00n1n-1。输入数据保证 nn 个字母分别至少出现一次。

 BADC
+CBDA
 DCCC

上面的算式是一个 44 进制的算式。很显然,我们只要让 ABCDABCD 分别代表 01230123,便可以让这个式子成立了。你的任务是,对于给定的 nn 进制加法算式,求出 nn 个不同的字母分别代表的数字,使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

#输入格式

输入的第一行是一个整数 nn,代表进制数。

第二到第四行,每行有一个由大写字母组成的字符串,分别代表两个加数以及和。这 33 个字符串左右两端都没有空格,从左到右依次代表从高位到低位,并且恰好有 nn 位。

#输出格式

输出一行 nn 个用空格隔开的整数,分别代表 A,B,A,B, \dots 代表的数字。

#输入输出样例

样例输入 #1

5
ABCED
BDACE
EBBAA

样例输出 #1

1 0 3 4 2

#数据范围与约定

  • 对于 30%30\% 的数据,保证 n10n \le 10
  • 对于 50%50\% 的数据,保证 n15n \le 15
  • 对于 100%100\% 的数据,保证 1n261 \leq n \leq 26

#思路

本题是一道搜索题,但是直接暴力搜索显然是过不去的,那么可以考虑剪枝。

#剪枝要点

  1. 预处理出字母出现的顺序,并从低位开始填数。

    以样例为例,如果从最高位开始填数,需要填到最低位才能判断出等式的正确性,但从最低位开始填则可以每填一位验证一位。

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    // 预处理
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    if (!map.count(s1[i])) {
    map[s1[i]] = -1;
    chs.emplace_back(s1[i]);
    }

    // s2, s3 与 s1 类似
    }
  2. 优先将大数填入低位。

    数据中明确了最高位不会出现进位的情况,那么大数填入高位更容易在最高位产生进位的现象,因此应该优先将大数填入低位。

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    void dfs(int x) {
    if (x == n) { /* code */ }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    if (vis[i]) continue;

    vis[i] = true;
    map[chs[x]] = i;

    if (check()) dfs(x + 1);

    map[chs[x]] = -1;
    vis[i] = false;
    }
    }

#实现细节

#check()

check 函数会在填数过程中粗略验证结果的正确性,在进入明显错误的搜索树前跳出。

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bool check() {
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (map[s1[i]] != -1 && map[s2[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) {
// 两个加数与结果都被填过时,需要满足 a + b = c 或者 a + b + 1 = c(进位)
if ((map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n != map[s3[i]]
&& (map[s1[i]] + map[s2[i]] + 1) % n != map[s3[i]]) {
return false;
}
} else if (map[s1[i]] != -1 && map[s2[i]] != -1) { // map[s3[i]] == -1
// 只有两个加数被填过时,c 需要存在可行值
if (vis[(map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n] // 不进位
&& vis[(map[s1[i]] + map[s2[i]] + 1) % n]) { // 进位
return false;
}
} else if (map[s1[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) { // map[s2[i]] == -1
// 加数 a 和结果被填过时,b 需要存在可行值
if (vis[(map[s3[i]] - map[s1[i]] + n) % n] // 不进位
&& vis[(map[s3[i]] - map[s1[i]] - 1 + n) % n]) { // 进位
return false;
}
} else if (map[s2[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) { // map[s1[i]] == -1
// 加数 b 和结果被填过时,a 需要存在可行值
if (vis[(map[s3[i]] - map[s2[i]] + n) % n] // 不进位
&& vis[(map[s3[i]] - map[s2[i]] - 1 + n) % n]) { // 进位
return false;
}
}
}

return true;
}

#check_ans()

逐位计算即可,记得处理进位。

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bool check_ans() {
int x = 0; // 进位值

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if ((x + map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n != map[s3[i]]) {
return false;
}

x = (x + map[s1[i]] + map[s2[i]]) / n;
}

return x == 0;
}

#代码

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#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 30;

int n;
bool vis[N];
std::string s1, s2, s3;
std::map<char, int> map;
std::vector<char> chs;

bool check() {
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (map[s1[i]] != -1 && map[s2[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) {
if ((map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n != map[s3[i]]
&& (map[s1[i]] + map[s2[i]] + 1) % n != map[s3[i]]) {
return false;
}
} else if (map[s1[i]] != -1 && map[s2[i]] != -1) { // map[s3[i]] == -1
if (vis[(map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n]
&& vis[(map[s1[i]] + map[s2[i]] + 1) % n]) {
return false;
}
} else if (map[s1[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) { // map[s2[i]] == -1
if (vis[(map[s3[i]] - map[s1[i]] + n) % n]
&& vis[(map[s3[i]] - map[s1[i]] - 1 + n) % n]) {
return false;
}
} else if (map[s2[i]] != -1 && map[s3[i]] != -1) { // map[s1[i]] == -1
if (vis[(map[s3[i]] - map[s2[i]] + n) % n]
&& vis[(map[s3[i]] - map[s2[i]] - 1 + n) % n]) {
return false;
}
}
}

return true;
}

bool check_ans() {
int x = 0;

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if ((x + map[s1[i]] + map[s2[i]]) % n != map[s3[i]]) {
return false;
}

x = (x + map[s1[i]] + map[s2[i]]) / n;
}

return x == 0;
}

void dfs(int x) {
if (x == n) {
if (check_ans()) {
for (auto o : map) {
cout << o.second << ' ';
}

cout << endl;

exit(0);
}

return;
}

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (vis[i]) continue;

vis[i] = true;
map[chs[x]] = i;

if (check()) dfs(x + 1);

map[chs[x]] = -1;
vis[i] = false;
}
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

cin >> n >> s1 >> s2 >> s3;

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (!map.count(s1[i])) {
map[s1[i]] = -1;
chs.emplace_back(s1[i]);
}

if (!map.count(s2[i])) {
map[s2[i]] = -1;
chs.emplace_back(s2[i]);
}

if (!map.count(s3[i])) {
map[s3[i]] = -1;
chs.emplace_back(s3[i]);
}
}

dfs(0);

return 0;
}