LibreOJ - 2363. 愤怒的小鸟

#题面

#题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $(0, 0)$ 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 $y = ax^2 + bx$ 的曲线，其中 $a, b$ 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 $a < 0$，$a, b$ 都是实数。

当小鸟落回地面（即 $x$ 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $n$ 只绿色的小猪，其中第 $i$ 只小猪所在的坐标为 $(x_i, y_i)$。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $(x_i, y_i)$，那么第 $i$ 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $(x_i, y_i)$，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 $i$ 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 $(1, 3)$ 和 $(3, 3)$，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 $y = -x^2 + 4x$ 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在「输入格式」中详述。

假设这款游戏一共有 $T$ 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

#输入格式

第一行包含一个正整数 $T$，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 $T$ 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 $n, m$，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 $n$ 行中，第 $i$ 行包含两个正实数 $x_i, y_i$，表示第 $i$ 只小猪坐标为 $(x_i, y_i)$。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 $m = 0$，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 $m = 1$，则这个关卡将会满足：至多用 $\lceil n/3 + 1 \rceil$ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 $m = 2$，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 $\lfloor n/3 \rfloor$ 只小猪。

保证 $1 \leq n \leq 18$，$0 \leq m \leq 2$，$0 < x_i, y_i < 10$，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 $\lceil c \rceil$ 和 $\lfloor c \rfloor$ 分别表示对 $c$ 向上取整和向下取整，例如：$\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3$。

#输出格式

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

#输入输出样例

样例输入 #1

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

样例输出 #1

1
1

样例解释 #1

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与「问题描述」中的情形相同，$2$ 只小猪分别位于 $(1.00, 3.00)$ 和 $(3.00, 3.00)$，只需发射一只飞行轨迹为 $y = -x^2 + 4x$ 的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有 $5$ 只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 $y = -x^2 + 6x$ 上，故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

样例输入 #2

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

样例输出 #2

2
2
3

样例输入 #3

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

样例输出 #3

6

#数据范围与约定

#思路

查看数据范围，发现 $n \leq 18$，所以可以考虑状压 DP。

设 $f_s$ 表示状态为 $s$ 时使用的小鸟数量，当 $s$ 的第 $k$ 位为 $1$ 时表示第 $k$ 只小猪被已经消灭掉了。

引理：

在同一平面内，过不共线且横坐标各不相同的三点有且仅有一条抛物线。

那么除去原点，再找出两个点即可确定一条唯一的抛物线。

枚举所有可能的抛物线，有以下几种情况：

1. 按照该抛物线飞行的小鸟不能消灭任何小猪。

   此时对答案没有贡献，故舍弃。

2. 按照该抛物线飞行的小鸟只能消灭 $1$ 只小猪。

3. 按照该抛物线飞行的小鸟能消灭不少于 $2$ 只小猪。

   此时遍历所有的小猪的位置并判断能否消灭掉它，按照位置记录状态即可。

可以证明满足第二点情况的抛物线一定存在。那么我们只需要构造出符合第三点情况的抛物线即可。

$$\begin{cases} a x_1^2 + b x_1 = y_1 & \text{(1)} \\ a x_2^2 + b x_2 = y_2 & \text{(2)} \\ \end{cases}$$

$(2) \div x_2$，有：

$$\tag{3} a x_2 + b = \frac{y_2}{x_2}$$

$(3) \times x_1$，有：

$$\tag{4} a x_2 x_1 + b x_1 = \frac{y_2 x_1}{x_2}$$

$(1) - (4)$ 并移项，有：

$$\tag{5} \large a = \frac{y_1 - \frac{y_2 x_1}{x_2}}{x_1 (x_1 - x_2)}$$

再推导 $b$ 的求值式，$(2) \div x_2^2$：

$$\tag{6} a + \frac{b}{x_2^2} = \frac{y_2}{x_2^2}$$

$(6) \times x_1^2$，有：

$$\tag{7} a x_1^2 + \frac{b x_1}{x_2^2} = \frac{y_2 x_1}{x_2^2}$$

$(1) - (7)$ 并移项，有：

$$\tag{8} \large b = \frac{y_1 - \frac{y_2 x_1^2}{x_2^2}}{x_1^2 - \frac{x_1^2}{x_2}}$$

详细实现可以查看下方的代码。

#代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69

#include <iostream>
#include <cstring>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 20;
const double eps = 1e-6;

int t, n, m, cnt, f[1 << N], s[N << 4];
std::pair<double, double> points[N];

inline std::pair<double, double> e(const std::pair<double, double> &a, const std::pair<double, double> &b) {
    return std::make_pair(
        (a.second - b.second * a.first / b.first) / (a.first * (a.first - b.first)),
        (a.second - b.second * a.first * a.first / (b.first * b.first)) / (a.first - a.first * a.first / b.first));
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> t;

    while (t--) {
        cnt = 0;
        memset(f, 0x3f, sizeof(f));
        memset(s, 0x00, sizeof(s));

        cin >> n >> m;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> points[i].first >> points[i].second;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if (std::abs(points[i].first - points[j].first) < eps) continue;

                auto r = e(points[i], points[j]);
                if (r.first > -eps) continue;

                cnt++;
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if (std::abs(r.first * points[k].first * points[k].first + r.second * points[k].first - points[k].second) < eps) {
                        s[cnt] |= 1 << k;
                    }
                }
            }
        }

        f[0] = 0;
        for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {
            // 两只及以上
            for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
                f[i | s[j]] = std::min(f[i | s[j]], f[i] + 1);
            }
            // 一只
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                f[i | 1 << j] = std::min(f[i | 1 << j], f[i] + 1);
            }
        }

        cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
    }

    return 0;
}