POJ - 1006. 生理周期

题面

题目描述

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为 $23$ 天、$28$ 天和 $33$ 天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为 $10$，下次出现三个高峰同天的时间是 $12$，则输出 $2$（注意这里不是 $3$）。

输入格式

输入四个整数：$p, e, i, d$。

$p, e, i$ 分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。$d$ 是给定的时间，可能小于 $p, e, i$。 所有给定时间是非负的并且小于 $365$，所求的时间小于 $21252$。

当 $p = e = i = d = -1$ 时，输入数据结束。

输出格式

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。

采用以下格式：

Case {}: the next triple peak occurs in {} days.

注意：即使结果是 $1$ 天，也使用复数形式 days。

输入输出样例

样例输入 #1

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

样例输出 #1

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

思路

设 $s$ 表示三个峰值同时出现的那一天，$T$ 为周期，有：

$$\tag{1} s = p + T_p k_p = e + T_e k_e = i + T_i k_i$$

显然需要求出 $k_p, k_e, k_i$ 使 $(1)$ 式成立，但题目只需要求出 $S$ 的值，所以可以换一个角度入手。可以将 $(1)$ 式转化为：

$$\left \{ \begin{array}{ll} s \equiv p & (\bmod \ 23) \\ s \equiv e & (\bmod \ 28) \\ s \equiv i & (\bmod \ 33) \\ \end{array} \right.$$

这样就可以使用中国剩余定理来解决问题了：

• 令 $(28 \times 33 \times a) \equiv 1 ~(\bmod \ 23)$，解得 $a = 6$，则 $28 \times 33 \times a = 5544$。
• 令 $(23 \times 33 \times b) \equiv 1 ~(\bmod \ 28)$，解得 $b = 19$，则 $23 \times 33 \times b = 14421$。
• 令 $(23 \times 28 \times c) \equiv 1 ~(\bmod \ 33)$，解得 $c = 2$，则 $23 \times 28 \times c = 1288$。

故 $s = 5544 \times p + 14421 \times e + 1288 \times i$，则最终结果为 $s - d$。

代码

#include <iostream>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

int t, p, e, i, d;

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int lcm(int a, int b) {
    return a / gcd(a, b) * b;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    while (cin >> p >> e >> i >> d, ~p && ~e && ~i && ~d) {
        int l = 21252,
            ans = (5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d + l) % l;
        cout << "Case " << ++t << ": the next triple peak occurs in " << (ans ? ans : l) << " days." << endl;
    }

    return 0;
}