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POJ - 3696. 最幸运的数字

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

88 是中国的幸运数字,如果一个数字的每一位都由 88 构成则该数字被称作是幸运数字。

现在给定一个正整数 LL,请问至少多少个 88 连在一起组成的正整数(即最小幸运数字)是 LL 的倍数。

#输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行,包含一个整数 LL

当输入用例 L=0L=0 时,表示输入终止,该用例无需处理。

#输出格式

每组测试用例输出结果占一行。

结果为 Case i: 和一个整数 NNNN 代表满足条件的最小幸运数字的位数。

如果满足条件的幸运数字不存在,则 N=0N = 0

#输入输出样例

样例输入 #1

8
11
16
0

样例输出 #1

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

#数据范围与约定

对于 100%100\% 的数据,1L2×1091 \le L \le 2 \times 10^9

#思路

xx88 连在一起组成的正整数可以表示为 8(10x1)9\frac{8 (10^x - 1)}{9},那么题意就转化为了求最小的 xx 满足 L 8(10x1)9L ~|~ \frac{8 (10^x - 1)}{9}

d=gcd(L,8)d = \gcd(L, 8),有推论如下:

L 8(10x1)9 9L 8(10x1) 9Ld 10x1 10x1( mod 9Ld)L ~|~ \frac{8 (10^x - 1)}{9} \iff 9L ~|~ 8 (10^x - 1) \iff \frac{9L}{d} ~|~ 10^x - 1 \iff 10^x \equiv 1 (\bmod \frac{9L}{d})

引理:

a,nNa, n \in \N^* 互质,则满足 ax1( mod n)a^x \equiv 1 (\bmod n) 的最小正整数 x0x_0φ(n)\varphi(n) 的约数。

由引理得,可以枚举 φ(9Ld)\varphi(\frac{9L}{d}) 的所有约数,然后求出 x0x_0 的最小值即为答案。

#代码

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <limits>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

int t;
long long l;

long long euler(long long x) {
long long r = x;
for (long long i = 2; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0) {
r = r / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) r = r / x * (x - 1);
return r;
}

long long binmul(long long a, long long b, long long m) {
unsigned long long c =
(unsigned long long)a * b -
(unsigned long long)((long double)a / m * b + 0.5L) * m;
if (c < m) return c;
return c + m;
}

long long binpow(long long a, long long b, long long m) {
a %= m;
long long res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = binmul(res, a, m);
a = binmul(a, a, m);
b >>= 1;
}
return res;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);

while (cin >> l, l) {
long long d = std::__gcd(l, 8ll);
long long n = euler(9ll * l / d);
long long ans = std::numeric_limits<long long>::max();

for (long long i = 1; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
if (binpow(10, i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, i);
if (binpow(10, n / i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, n / i);
}
}

cout << "Case " << ++t << ": " << (ans == std::numeric_limits<long long>::max() ? 0 : ans) << endl;
}

return 0;
}