POJ - 3696. 最幸运的数字

#题面

#题目描述

$8$ 是中国的幸运数字，如果一个数字的每一位都由 $8$ 构成则该数字被称作是幸运数字。

现在给定一个正整数 $L$ ，请问至少多少个 $8$ 连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是 $L$ 的倍数。

#输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含一个整数 $L$ 。

当输入用例 $L=0$ 时，表示输入终止，该用例无需处理。

#输出格式

每组测试用例输出结果占一行。

结果为 Case i: 和一个整数 $N$ ， $N$ 代表满足条件的最小幸运数字的位数。

如果满足条件的幸运数字不存在，则 $N = 0$ 。

#输入输出样例

样例输入 #1

样例输出 #1

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

#数据范围与约定

对于 $100\%$ 的数据， $1 \le L \le 2 \times 10^9$ 。

#思路

$x$ 个 $8$ 连在一起组成的正整数可以表示为 $\frac{8 (10^x - 1)}{9}$ ，那么题意就转化为了求最小的 $x$ 满足 $L ~|~ \frac{8 (10^x - 1)}{9}$ 。

设 $d = \gcd(L, 8)$ ，有推论如下：

$L ~|~ \frac{8 (10^x - 1)}{9} \iff 9L ~|~ 8 (10^x - 1) \iff \frac{9L}{d} ~|~ 10^x - 1 \iff 10^x \equiv 1 (\bmod \frac{9L}{d})$

引理：

若 $a, n \in \N^*$ 互质，则满足 $a^x \equiv 1 (\bmod n)$ 的最小正整数 $x_0$ 是 $\varphi(n)$ 的约数。

由引理得，可以枚举 $\varphi(\frac{9L}{d})$ 的所有约数，然后求出 $x_0$ 的最小值即为答案。

#代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <limits>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

int t;
long long l;

long long euler(long long x) {
    long long r = x;
    for (long long i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) {
            r = r / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) r = r / x * (x - 1);
    return r;
}

long long binmul(long long a, long long b, long long m) {
    unsigned long long c =
        (unsigned long long)a * b -
        (unsigned long long)((long double)a / m * b + 0.5L) * m;
    if (c < m) return c;
    return c + m;
}

long long binpow(long long a, long long b, long long m) {
    a %= m;
    long long res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = binmul(res, a, m);
        a = binmul(a, a, m);
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    while (cin >> l, l) {
        long long d = std::__gcd(l, 8ll);
        long long n = euler(9ll * l / d);
        long long ans = std::numeric_limits<long long>::max();

        for (long long i = 1; i * i <= n; i++) {
            if (n % i == 0) {
                if (binpow(10, i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, i);
                if (binpow(10, n / i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, n / i);
            }
        }

        cout << "Case " << ++t << ": " << (ans == std::numeric_limits<long long>::max() ? 0 : ans) << endl;
    }

    return 0;
}