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题面
题目描述
是中国的幸运数字,如果一个数字的每一位都由 构成则该数字被称作是幸运数字。
现在给定一个正整数 ,请问至少多少个 连在一起组成的正整数(即最小幸运数字)是 的倍数。
输入格式
输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行,包含一个整数 。
当输入用例 时,表示输入终止,该用例无需处理。
输出格式
每组测试用例输出结果占一行。
结果为 Case i:
和一个整数 , 代表满足条件的最小幸运数字的位数。
如果满足条件的幸运数字不存在,则 。
输入输出样例
样例输入 #1
8
11
16
0
样例输出 #1
Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0
数据范围与约定
对于 的数据,。
思路
个 连在一起组成的正整数可以表示为 ,那么题意就转化为了求最小的 满足 。
设 ,有推论如下:
引理:
若 互质,则满足 的最小正整数 是 的约数。
由引理得,可以枚举 的所有约数,然后求出 的最小值即为答案。
代码
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <limits>
using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';
int t;
long long l;
long long euler(long long x) {
long long r = x;
for (long long i = 2; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0) {
r = r / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) r = r / x * (x - 1);
return r;
}
long long binmul(long long a, long long b, long long m) {
unsigned long long c =
(unsigned long long)a * b -
(unsigned long long)((long double)a / m * b + 0.5L) * m;
if (c < m) return c;
return c + m;
}
long long binpow(long long a, long long b, long long m) {
a %= m;
long long res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = binmul(res, a, m);
a = binmul(a, a, m);
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
while (cin >> l, l) {
long long d = std::__gcd(l, 8ll);
long long n = euler(9ll * l / d);
long long ans = std::numeric_limits<long long>::max();
for (long long i = 1; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
if (binpow(10, i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, i);
if (binpow(10, n / i, 9ll * l / d) == 1) ans = std::min(ans, n / i);
}
}
cout << "Case " << ++t << ": " << (ans == std::numeric_limits<long long>::max() ? 0 : ans) << endl;
}
return 0;
}