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S2OJ - 1816. 子集

题解567 字
# S2OJ # 二分 # 2017 # 长乐集训
检测到 KaTeX 加载失败，可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

定义一个可重数集的价值为：集合中所有数的平均数减去它们的中位数。

现在给定 nn 个数 aia_i ，请你找出这 nn 个数中的一个非空子集，使得这个子集的价值最大。

#输入格式

第一行一个整数 nn 表示数字个数。

第二行 nn 个整数 aia_i。

#输出格式

仅一行一个实数表示答案，结果保留 55 位小数。

#输入输出样例

样例输入 #1

6
2 3 3 5 7 8

样例输出 #1

1.66667

样例解释 #1

最优子集为 {3,3,8}\{3, 3, 8\}。

#数据范围与约定

  • 对于 20%20\% 的数据，n≤20n \leq 20；
  • 对于 60%60\% 的数据，n≤2000n \leq 2000；
  • 对于 100%100\% 的数据，n≤2×105n \leq 2 \times 10^5，0≤ai≤1060 \leq a_i \leq 10^6。

#思路

由于是选集合，所以先排序。

可以考虑固定住中位数所在的位置。不难发现以下性质：

  1. 最优情况一定选出奇数个数；
  2. 当选取长度为 2k+12k + 1 时，其他的数一定是挑比中位数小的最大的 kk 个与全部数中最大的 kk 个，这样可以使得平均数最大；
  3. 将数字排序，则选取的个数与它的价值是单峰的。

于是就可以二分/三分求解了。

#代码

C++
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <iterator>
#include <numeric>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 2e5 + 5;

int n, a[N], s[N];
double ans;

double calc(int pos, int len) {
    return static_cast<double>(s[n] - s[n - len] + s[pos] - s[pos - len - 1]) / (len * 2 + 1);
}

int solve(int x) {
    int l = 1,
        r = std::min(x - 1, n - x),
        res = 0;

    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;

        if (calc(x, mid - 1) <= calc(x, mid)) {
            res = mid;
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }

    return res;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n;

    std::copy_n(std::istream_iterator<int>(cin), n, a + 1);
    std::sort(a + 1, a + 1 + n);
    std::partial_sum(a + 1, a + 1 + n, s + 1);

    for (int i = 2; i < n; i++) {
        ans = std::max(ans, calc(i, solve(i)) - a[i]);
    }

    cout << std::fixed << std::setprecision(5) << ans << endl;

    return 0;
}