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本博客自 2023 年 4 月 4 日起转为归档状态,不再发表新的博文。请查看《我的 OI 生涯 —— 一名退役竞赛生的回忆录》一文了解博主的竞赛生涯。

S2OJ - 1824. qiu

题解约 1.7 千字
检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

小 P 在二维平面的原点 (0,0)(0, 0),他现在朝着 y 轴正方向。

他会以如下方式放 101010010^{10^{100}} 个球,第 ii 个的重量为 ii

ii 步,他会放下第 ii 个球;若他的右方第一个整点没有放球,那么向右转;向前走一单位长度。

前 25 步为:

21 22 23 24 25
20 7 8 9 10
19 6 1 2 11
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13

小 P 回询问 qq 次,所有横坐标在 [x1,x2][x_1, x_2] 中,纵坐标在 [y1,y2][y_1, y_2] 中的整点,上面球的重量的和,答案可能很大,对 $2^{63} $取模。

#输入格式

第一行一个整数 qq

接下来 qq 行,每行四个整数 x1,x2,y1,y2x_1, x_2, y_1, y_2

#输出格式

一行一个整数,你的答案。

#输入输出样例

样例输入 #1

1
0 0 0 1

样例输出 #1

9

样例解释 #1

1+8=91 + 8 = 9

#数据范围与约定

WW 为满足以下条件的最小正整数:0x1,x2,y1,y2W0 ≤ x_1, x_2, y_1, y_2 ≤ W

有:W1018,x1x2,y1y2,q106W ≤ 10^{18}, x_1 ≤ x_2, y_1 ≤ y_2, q ≤ 10^6

  • Subtask 1 (1 pts):W104W ≤ 10^4
  • Subtask 2 (2 pts):W107W ≤ 10^7
  • Subtask 3 (3 pts):W109W ≤ 10^9
  • Subtask 4 (4 pts):W1012W ≤ 10^{12}
  • Subtask 5 (5 pts):q=1q = 1
  • Subtask 6 (85 pts):W1018W ≤ 10^{18}

#思路

显然可以使用类似二维前缀和的思想将每次询问转化为求 (0,0)(x,y)(0, 0) - (x, y) 矩形内所有数的和。

可以发现一个规律,在直线 x=yx = y 上的点 (x,x)(x, x) 的值为 (2x+1)2(2x + 1)^2。则有 (0,x)(0, x) 的值为 (2x+1)2x(2x + 1)^2 - x(x,0)(x, 0) 的值为 (2(x1)+1)2+1+(x1)\left(2(x - 1) + 1\right)^2 + 1 + (x - 1)。为了方便后面的计算,可以用 (x+1,0)(x + 1, 0) 来表示,其值为 (2x+1)2+1+x(2x + 1)^2 + 1 + x,其中 (2x+1)2+1(2x + 1)^2 + 1(x+1,x)(x + 1, x) 的值。

接下来,对于矩形 (0,0)(x,y)(0, 0) - (x, y),可以将其分为三部分:

  1. 有行有列的折线,这条折线的和为:

    i=0min(x1,y)(j=0x(2i+1)2j)(i,0)(i,i)+(j=0x(2x+1)2+1+j)(i+1,i)(i+1,0)=i=0min(x1,y)(2(2i+1)2+1)×2(i+1)2=8i3+16i2+11i+3×(min(x1,y)+1) \begin{aligned} & \sum_{i = 0}^{\min(x - 1, y)} \underbrace{\left(\sum_{j = 0}^{x} (2i + 1)^2 - j \right)}_{(i, 0) \sim (i, i)} + \underbrace{\left(\sum_{j = 0}^{x} (2x + 1)^2 + 1 + j\right)}_{(i + 1, i) \sim (i + 1, 0)} \\ =& \sum_{i = 0}^{\min(x - 1, y)} \frac{\left(2(2i + 1)^2 + 1 \right) \times 2(i + 1)}{2} \\ =& 8 \sum i^3 + 16 \sum i^2 + 11 \sum i + 3 \times \left(\min(x - 1, y) + 1 \right) \\ \end{aligned}

  2. 仅有行(x1yx - 1 \leq y

    i=xyj=0x(2i+1)2i+j=i=xy(((2i+1)2i)+((2i+1)2i+x))(x+1)2=x+12×(8i2+6i+(yx+1)(x+2)) \begin{aligned} & \sum_{i = x}^{y} \sum_{j = 0}^{x} (2i + 1)^2 - i + j \\ =& \sum_{i = x}^{y} \frac{\Big( \left((2i + 1)^2 - i \right) + \left((2i + 1)^2 - i + x \right) \Big) (x + 1)}{2} \\ =& \frac{x + 1}{2} \times \left(8 \sum i^2 + 6 \sum i + (y - x + 1)(x + 2) \right) \\ \end{aligned}

  3. 仅有列(x1>yx - 1 > y

    i=xyj=0x(2i+1)2+1+ij=i=xy(((2i+1)2+1+i)+((2i+1)2+1+iy))(y+1)2=y+12×(8i2+10i+(xy1)(4y)) \begin{aligned} & \sum_{i = x}^{y} \sum_{j = 0}^{x} (2i + 1)^2 + 1 + i - j \\ =& \sum_{i = x}^{y} \frac{\Big( \left((2i + 1)^2 + 1 + i \right) + \left((2i + 1)^2 + 1 + i - y \right) \Big) (y + 1)}{2} \\ =& \frac{y + 1}{2} \times \left(8 \sum i^2 + 10 \sum i + (x - y - 1)(4 - y) \right) \end{aligned}

之后分别统计矩形中这三部分的元素和即可。

附录

i=0ni3=(n(n+1)2)2i=0ni2=n(n+1)(2n+1)6i=0ni=n(n+1)2 \begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} i^3 &= \left(\frac{n (n + 1)}{2}\right)^2 \\ \sum_{i = 0}^{n} i^2 &= \frac{n (n + 1) (2n + 1)}{6} \\ \sum_{i = 0}^{n} i &= \frac{n (n + 1)}{2} \\ \end{aligned}

注:本文的推导过程中省略了一些非关键步骤。

#代码

C++
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#include <iostream>
#include <algorithm>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const unsigned long long mod = 1ull << 63,
mod_mask = mod - 1;

/**
* Calculates the sum of i from 1 to x
*
* @return x * (x + 1) / 2
*/
unsigned long long sum_i_1(unsigned long long x) {
unsigned long long t1 = x,
t2 = x + 1;

if (x % 2 == 0) t1 /= 2;
else t2 /= 2;

return t1 * t2;
}

/**
* Calculates the sum of i^2 from 1 to x
*
* @return x * (x + 1) * (2 * x + 1) / 6
*/
unsigned long long sum_i_2(unsigned long long x) {
unsigned long long t1 = x,
t2 = x + 1,
t3 = x * 2 + 1;

if (t1 % 2 == 0) t1 /= 2;
else t2 /= 2;

if (t1 % 3 == 0) t1 /= 3;
else if (t2 % 3 == 0) t2 /= 3;
else t3 /= 3;

return t1 * t2 * t3;
}

/**
* Calculates the sum of i^3 from 1 to x
*
* @return (x * (x + 1) / 2) * (x * (x + 1) / 2)
*/
unsigned long long sum_i_3(unsigned long long x) {
return sum_i_1(x) * sum_i_1(x);
}

/**
* Calculates this:
*
* @code
* --#+
* |
* |
* @endcode
*
* #: (2x + 1)^2
*/
unsigned long long calc_all(unsigned long long x) {
if (x < 0) return 0;

return sum_i_3(x) * 8 + sum_i_2(x) * 16 + sum_i_1(x) * 11 + (x + 1) * 3;
}

/**
* Calculates this:
*
* @code
* --#(+)
* (|)
* (|)
* @endcode
*
* #: (2x + 1)^2
* (): not included
*/
unsigned long long calc_top(unsigned long long x, unsigned long long y) {
unsigned long long res = sum_i_2(y) * 8 + sum_i_1(y) * 6 + (y - x + 1) * (x + 2),
t = x + 1;

if (x > 0) {
res -= sum_i_2(x - 1) * 8 + sum_i_1(x - 1) * 6;
}

if (res % 2 == 0) res /= 2;
else t /= 2;

return res * t;
}

/**
* Calculates this:
*
* @code
* (--#)+
* |
* |
* @endcode
*
* #: (2x + 1)^2
* (): not included
*/
unsigned long long calc_right(unsigned long long x, unsigned long long y) {
unsigned long long res = sum_i_2(x - 1) * 8 + sum_i_1(x - 1) * 10 + (x - y - 1) * (4 - y),
t = y + 1;

if (y > 0) {
res -= sum_i_2(y) * 8 + sum_i_1(y) * 10;
}

if (res % 2 == 0) res /= 2;
else t /= 2;

return res * t;
}

unsigned long long calc(long long x, long long y) {
if (x < 0 || y < 0) return 0;

if (x - 1 <= y) {
return calc_all(x - 1) + calc_top(x, y);
}

// x - 1 > y
return calc_all(y) + calc_right(x, y);
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

int q;

cin >> q;

while (q--) {
long long x1, x2, y1, y2;

cin >> x1 >> x2 >> y1 >> y2;

cout << ((calc(x2, y2) - calc(x1 - 1, y2) - calc(x2, y1 - 1) + calc(x1 - 1, y1 - 1)) & mod_mask) << endl;
}

return 0;
}