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S2OJ - 438. bamboo

题解约 1.5 千字
# S2OJ # 图论 # 最短路
检测到 KaTeX 加载失败，可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

话说茅山道士散功重修已足足九九八十一天，这天子时，月上中天，道观前清辉点点。

只听得訇然一声，闭关之处整个炸裂开来，烟雾散尽后，只见茅山道士纤尘不染地立于瓦砾之中，抬头望月，面上一片悲悯之色，喃喃道：「孽缘啊……」

果不其然，一名黑衣剑客从旁窜出，剑尖遥遥指向茅山道士，大喝道：「茅山妖道，我已在此等你多时，多年来的恩恩怨怨，就此了断吧！」

言不及毕，左手捏了一个剑诀，便欺身上前，直攻茅山下盘。

茅山道士看着黑衣剑客有些稚嫩的剑法，眼中掠过复杂的神色：「不如我们换个地方吧，你若能追得上我，我再和你大战一场！」

说完向后纵身一跃，就此隐入竹林之中不知所踪。

黑衣剑客知道茅山是个念旧的人，这次必然是要到竹林中的一处隐秘所在。但黑衣剑客的轻功并不高明，每次只能从一棵竹子顶端跳到水平距离不超过 rr ，高度差不超过 dd 的另一棵竹子顶端，所花的时间为两个顶点间的直线距离除以 vv。

你能帮助黑衣剑客以最快的速度追上茅山道士么？

#输入格式

第一行是四个整数 nn、rr、dd、vv，表示竹子的数目、最大水平跳跃距离、最大竖直跳跃距离以及黑衣剑客飞行的速度。

接下来 nn 行每行三个整数 xx、yy、hh，表示每棵竹子的坐标及高度，高度大于 00 。

你可以假定起点在 11 ，终点在 nn 。同一坐标可能有不同竹子。

#输出格式

输出一行为从 11 到 nn 的最短时间。保留小数点后三位输出。如果无法到达终点则输出 No Solution 。

#输入输出样例

输入样例 #1

3 3 4 4
0 0 1
0 3 5
3 3 1

输出样例 #1

2.500

#数据规模与约定

输入的所有数据均为不超过 10001000 的非负整数。

#思路

#要点总结

  1. 本题实质是求加权无向图的最短路径。
  2. 本题主要代码均与速度无关，因此程序只需在输出时计算时间。
  3. 需要先计算各个互相可达的点之间的路程，再求从 11 号竹子到 nn 号竹子的最短路径。

#计算可达性与路程

由题知计算可达性需要两个条件：

  1. 水平距离不超过 rr
  2. 高度差不超过 dd

d=(Δx)2+(Δy)2=(x1−x2)2+(y1−y2)2d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

可以根据 同一平面上两点间的距离公式 写出求同一平面上两点间的距离的函数：

C++
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// 求同一平面上两点间的距离
double dis2d(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2));
}

然后判断黑衣剑客是否能跳到那棵竹子上：

C++
1
if (dis2d(a[i].x, a[i].y, a[j].x, a[j].y) <= r && abs(a[i].z - a[j].z) <= d)

判断条件为 s水平≤rs_{\text{水平}} \leq r 且 s垂直≤ds_{\text{垂直}} \leq d 。

d=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}

同样也可以根据 三维空间中两点间的距离公式 写出求三维空间中两点间的距离的函数：

C++
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// 求三维空间中两点间的距离
double dis3d(int x1, int y1, int z1, int x2, int y2, int z2) {
    return sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2) + pow(z1 - z2, 2));
}

然后直接向邻接表中存入数据即可。

C++
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double dis = dis3d(a[i].x, a[i].y, a[i].z, a[j].x, a[j].y, a[j].z);
f[i][j] = dis;
f[j][i] = dis;

#求解最短路

由于时限比较宽松，所以此处选用代码难度较低的 Floyd 算法。

首先需要初始化，初始化需要放在路程计算前。

C++
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        f[i][j] = i == j ? 0 : 0x3f3f3f3f;
    }
}

之后使用 Floyd 算法求解最短路即可：

C++
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for (int k = 1; k <= n; k++) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
        }
    }
}

最后输出从 11 到 nn 的最短路径长度时需要特判无解的情况并输出 No Solution 。

#代码

C++
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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

double dis2d(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2));
}

double dis3d(int x1, int y1, int z1, int x2, int y2, int z2) {
    return sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2) + pow(z1 - z2, 2));
}

int main() {
    int n, r, d, v;
    double s = 9999999.00, f[1005][1005];
    struct {
        int x, y, z;
    } a[1005];
    cin >> n >> r >> d >> v;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].z;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
                f[i][j] = i == j ? 0 : 0x3f3f3f3f;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (dis2d(a[i].x, a[i].y, a[j].x, a[j].y) <= r && abs(a[i].z - a[j].z) <= d) {
                double dis = dis3d(a[i].x, a[i].y, a[i].z, a[j].x, a[j].y, a[j].z);
                f[i][j] = dis;
                f[j][i] = dis;
            }
        }
    }
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
            }
        }
    }
    if(f[1][n] == 0x3f3f3f3f) {
        cout << "No Solution" << endl;
    } else {
        cout << fixed << setprecision(3) << f[1][n] / v << endl;
    }
    return 0;
}

提交记录 #12492 - S2OJ