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「ZJOI2006」书架

检测到 KaTeX 加载失败,可能会导致文中的数学公式无法正常渲染。

#题面

#题目描述

小 T 有一个很大的书柜。这个书柜的构造有些独特,即书柜里的书是从上至下堆放成一列。她用 11nn 的正整数给每本书都编了号。

小 T 在看书的时候,每次取出一本书,看完后放回书柜然后再拿下一本。由于这些书太有吸引力了,所以她看完后常常会忘记原来是放在书柜的什么位置。不过小 T 的记忆力是非常好的,所以每次放书的时候至少能够将那本书放在拿出来时的位置附近,比如说她拿的时候这本书上面有 xx 本书,那么放回去时这本书上面就只可能有 x1x - 1xxx+1x + 1 本书。

当然也有特殊情况,比如在看书的时候突然电话响了或者有朋友来访。这时候粗心的小 T 会随手把书放在书柜里所有书的最上面或者最下面,然后转身离开。

久而久之,小 T 的书柜里的书的顺序就会越来越乱,找到特定的编号的书就变得越来越困难。于是她想请你帮她编写一个图书管理程序,处理她看书时的一些操作,以及回答她的两个提问:

  • 编号为 xx 的书在书柜的什么位置。
  • 从上到下第 ii 本书的编号是多少。

#输入格式

第一行有两个整数,分别表示书的个数 nn 以及命令条数 mm

第二行有 nn 个整数,第 ii 个整数表示初始时从上向下书第 ii 本书的编号 pip_i

接下来 mm 行,每行表示一个操作。每行初始时有一个字符串 opop

  • opopTop,则后有一个整数 ss,表示把编号为 ss 的书放在最上面。
  • opopBottom,则后有一个整数 ss,表示把编号为 ss 的书放在最下面。
  • opopInsert,则后有两个整数 s,ts, t,表示若编号为 ss 的书上面有 xx 本书,则放回这本书时他的上面有 x+tx + t 本书。
  • opopAsk,则后面有一个整数 ss,表示询问编号为 ss 的书上面有几本书。
  • opopQuery,则后面有一个整数 ss,询问从上面起第 ss 本书的编号。

#输出格式

对于每次查询,输出一行一个整数表示答案。

#输入输出样例

样例输入 #1

10 10
1 3 2 7 5 8 10 4 9 6
Query 3
Top 5
Ask 6
Bottom 3
Ask 3
Top 6
Insert 4 -1
Query 5
Query 2
Ask 2

样例输出 #1

2
9
9
7
5
3

#数据规模与约定

对于 100%100\% 的数据,保证:

  • 3n,m8×1043 \leq n, m \leq 8 \times 10^4
  • pip_i 是一个 1n1 \sim n 的排列;
  • 1sn1 \leq s \leq n1t1-1 \leq t \leq 1opop 只可能是输入的五种字符串之一;
  • 当编号为 ss 的书上面没有书的时候,不会对它进行 Insert s -1 操作;
  • 当编号为 ss 的书下面没有书的时候,不会对它进行 Insert s 1 操作。

#思路

本题可以使用 FHQ Treap 解决。

pxp_x 记录编号为 xx 的书对应的节点,方便后续操作。

执行 Top 操作时将整棵树分裂成三份 —— ss 之前的书,ss 本身,ss 之后的书。然后将其重拍顺序合并。Bottom 操作同理。

对于 Insert 操作,有三种情况:

  1. t=0t = 0 时,无需进行任何操作;
  2. t<0t < 0 时,将 ss 插入到 ss 前的第 t-t 个位置;
  3. t>0t > 0 时,将 ss 插入到 ss 后的第 tt 个位置。

对于 Ask 操作直接输出 ss 在树上的排名即可。

对于 Query 操作,在树上执行分裂,将第 ss 本书取出来记录编号再合并即可。

#代码

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <string>

using std::cin;
using std::cout;
const char endl = '\n';

const int N = 8e4 + 5;

struct node {
node *lchild, *rchild, *fa;
std::size_t size;
int value, key;

node()
: lchild(nullptr), rchild(nullptr), fa(nullptr), size(0), value(0), key(rand()) {}

node(int _value)
: lchild(nullptr), rchild(nullptr), fa(nullptr), size(1), value(_value), key(rand()) {}

~node() {
if (lchild != nullptr) delete lchild;
if (rchild != nullptr) delete rchild;
}

inline std::size_t lsize() {
return lchild == nullptr ? 0 : lchild->size;
}

inline std::size_t rsize() {
return rchild == nullptr ? 0 : rchild->size;
}

inline void pushup() {
size = 1;

if (lchild != nullptr) {
size += lchild->size;
lchild->fa = this;
}

if (rchild != nullptr) {
size += rchild->size;
rchild->fa = this;
}
}

inline std::size_t pos() {
std::size_t ret = lsize() + 1;
node *cur = this;

while (cur->fa != nullptr) {
if (cur->fa->rchild == cur) {
ret += cur->fa->lsize() + 1;
}

cur = cur->fa;
}

return ret;
}
};

int n, m;
node *root, *p[N];

std::pair<node *, node *> split(node *u, int k) {
if (u == nullptr) return std::make_pair(nullptr, nullptr);

if (k <= u->lsize()) {
auto o = split(u->lchild, k);

u->lchild = o.second;
u->pushup();
o.second = u;

return o;
}

auto o = split(u->rchild, k - u->lsize() - 1);

u->rchild = o.first;
u->pushup();
o.first = u;

return o;
}

template <typename... Args>
node *merge(node *x, Args... args) {
return merge(x, merge(args...));
}

template <>
node *merge(node *x, node *y) {
if (x == nullptr) return y;
if (y == nullptr) return x;

if (x->key < y->key) {
x->rchild = merge(x->rchild, y);
x->pushup();

return x;
}

y->lchild = merge(x, y->lchild);
y->pushup();

return y;
}

inline void top(const int &x) {
int k = p[x]->pos();

auto p = split(root, k - 1);
auto q = split(p.second, 1);

root = merge(q.first, p.first, q.second);
}

inline void bottom(const int &x) {
int k = p[x]->pos();

auto p = split(root, k - 1);
auto q = split(p.second, 1);

root = merge(p.first, q.second, q.first);
}

inline void insert(const int &x, const int &y) {
if (!y) return;

int k = p[x]->pos();
auto p = split(root, k - 1);
auto q = split(p.second, 1);

if (y > 0) {
auto t = split(q.second, y);
root = merge(p.first, t.first, q.first, t.second);
} else { // y < 0
auto t = split(p.first, k + y - 1);
root = merge(t.first, q.first, t.second, q.second);
}
}

inline int ask(const int &x) {
return p[x]->pos() - 1;
}

inline int query(const int &x) {
auto p = split(root, x - 1);
auto q = split(p.second, 1);

int res = q.first->value;

root = merge(p.first, q.first, q.second);

return res;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);

cin >> n >> m;

for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
cin >> x;

root = merge(root, p[x] = new node(x));
}

while (m--) {
std::string op;
int s, t;

cin >> op >> s;

switch (op[0]) {
case 'T': { // op == "Top"
top(s);

break;
}
case 'B': { // op == "Bottom"
bottom(s);

break;
}
case 'I': { // op == "Insert"
cin >> t;

insert(s, t);

break;
}
case 'A': { // op == "Ask"
cout << ask(s) << endl;

break;
}
case 'Q': { // op == "Query"
cout << query(s) << endl;

break;
}
}
}

// Cleanup
delete root;

return 0;
}